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1 微分学1

1.1 预备知识1

1.1.1 集合1

1.1.2 实数与数轴2

1.1.3 有序数组与直角坐标系3

1.1.4 数学模型中的变量4

1.2 函数5

1.2.1 函数及其表示6

1.2.2 复合函数与反函数7

习题1.29

1.3.1 极限10

1.3 极限10

1.3.2 极限的运算法则12

1.3.3 数量级与函数的有限展开14

习题1.317

1.4 连续函数19

习题1.420

1.5 可微函数21

1.5.1 微分与导数22

1.5.2 微分与导数的意义24

1.5.3 微分法25

1.5.4 高阶导数与高阶微分28

习题1.529

1.6.1 拉格朗日(Lagrange)公式31

1.6 泰勒(Taylor)展开式31

1.6.2 Taylor展开式33

1.6.3 函数的特性36

习题1.638

1.7 函数的极值39

1.7.1 函数的极大值与极小值39

1.7.2 函数的最大值与最小值40

习题1.742

1.8 多元函数微分学43

1.8.1 多元函数的极限与连续43

1.8.2 偏导数与全微分44

1.8.3 隐函数的导数47

1.8.4 Taylor展开式49

习题1.850

1.9 多元函数的极值51

1.9.1 多元函数的极值51

1.9.2 条件极值53

习题1.955

2 原函数与微分方程57

2.1 原函数与不定积分57

2.1.1 原函数与不定积分的概念57

2.1.2 不定积分的性质及基本积分公式58

习题2.159

2.2.1 换元积分法60

2.2 基本积分法60

2.2.2 分部积分法63

习题2.265

2.3 简单微分方程67

2.3.1 基本概念67

2.3.2 变量分离方程68

2.3.3 一阶线性微分方程69

2.3.4 全微分方程71

2.3.5 可降阶的二阶微分方程72

2.3.6 二阶线性微分方程74

习题2.379

3.1.1 定积分的概念81

3 积分81

3.1 定积分的概念和性质81

3.1.2 定积分的性质83

习题3.184

3.2 定积分的计算85

3.2.1 微积分基本定理85

3.2.2 定积分的换元积分法与分部积分法86

习题3.288

3.3 微元法及其应用89

3.3.1 微元法89

3.3.2 平面图形的面积89

3.3.3 体积91

3.3.4 平面光滑曲线的弧长92

3.3.5 其他方面的应用93

习题3.395

3.4 广义积分96

3.4.1 无限区间上的广义积分96

3.4.2 有限区间上无界函数的广义积分97

习题3.499

3.5 重积分99

3.5.1 重积分的概念与性质99

3.5.2 二重积分的计算101

3.5.3 三重积分的计算106

习题3.5111

4 概率论113

4.1 随机事件及其运算113

4.1.1 随机试验113

4.1.2 样本空间114

4.1.3 随机事件114

4.1.4 事件间的关系和运算114

习题4.1116

4.2 概率的概念与性质117

4.2.1 概率的统计定义117

4.2.2 概率的古典定义118

4.2.3 概率的几何定义119

4.2.5 概率的性质120

4.2.4 概率的公理化定义120

习题4.2121

4.3 条件概率和事件的独立性122

4.3.1 条件概率122

4.3.2 事件的独立性123

4.3.3 全概率公式125

4.3.4 贝叶斯(Bayes)公式126

4.3.5 贝努里(Bernoulli)概型127

习题4.3128

4.4.1 随机变量的概念及分类129

4.4 随机变量及其概率分布129

4.4.2 离散型随机变量及其分布130

4.4.3 随机变量的分布函数132

4.4.4 连续型随机变量及其分布134

习题4.4137

4.5 二维随机变量138

4.5.1 二维随机变量及其分布函数138

4.5.2 二维离散型随机变量139

4.5.3 二维连续型随机变量140

4.5.4 边缘分布141

4.5.5 相互独立的随机变量143

习题4.5143

4.6.1 一维随机变量的函数144

4.6 随机变量的函数及其分布144

4.6.2 二维随机变量的函数146

习题4.6148

4.7 随机变量的数字特征149

4.7.1 数学期望149

4.7.2 方差155

4.7.3 相关系数157

习题4.7158

4.8 大数定律和中心极限定理160

4.8.1 大数定律160

4.8.2 中心极限定理161

习题4.8163

5 线性代数165

5.1 行列式165

5.1.1 二阶和三阶行列式165

5.1.2 n阶行列式167

5.1.3 几种特殊的n阶行列式168

5.1.4 行列式的基本性质170

5.1.5 克莱姆法则175

习题5.1178

5.2 矩阵及其运算179

5.2.1 矩阵的概念179

5.2.2 矩阵的运算181

习题5.2184

习题5.3185

5.3 逆矩阵185

5.4 矩阵的秩188

5.4.1 n维向量及其相关性188

5.4.2 矩阵的秩189

习题5.4190

5.5 初等变换191

5.5.1 初等变换191

5.5.2 初等矩阵192

习题5.5195

5.6 线性方程组195

5.6.1 齐次线性方程组196

5.6.2 非齐次线性方程组200

习题5.6204

6 数学模型205

6.1 概论205

6.1.1 模型的概念、类别和特征205

6.1.2 数学模型的构成206

6.1.3 数学建模的一般过程206

6.2 微分方程模型207

6.2.1 稳定性理论简介207

6.2.2 人口模型209

6.2.3 捕鱼问题210

6.2.4 伏尔泰拉弱肉强食模型211

6.2.5 传染病模型212

6.2.6 糖尿病诊断模型214

6.3 随机性模型216

6.3.1 血液化验问题216

6.3.2 试用期问题217

6.3.3 效率工资与高薪养廉218

6.3.4 报童问题219

6.3.5 零部件的预防性更换220

6.4 动态优化模型222

6.4.1 欧拉方程与汉密尔顿函数222

6.4.2 生产设备的检修策略224

6.4.3 广告投资问题225

6.4.4 生产计划问题226

6.4.5 最优消费计划227

6.4.6 政治商业周期228

6.4.7 人才最优分配问题229

6.5 博弈模型232

6.5.1 基本概念232

6.5.2 寡头竞争与卡特尔之不稳定性234

6.5.3 重复博弈与1959-1961年中国农业危机236

6.5.4 工资合同问题238

6.5.5 工作竞赛模型240

6.5.6 拍卖模型242

6.5.7 合作投资问题243

6.5.8 夏普利值与费用分担问题247

主要参考文献247

习题参考答案248