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第1章 函数1

1.1 函数1

1.1.1 实数与区间1

1.1.2 函数概念3

1.1.3 函数的表示法7

练习题1.111

1.2 几类特殊的函数12

1.2.1 有界函数与无界函数13

1.2.2 单调函数16

1.2.3 奇函数与偶函数19

1.2.4 周期函数22

练习题1.224

1.3 函数的运算25

1.3.1 函数的四则运算25

1.3.2 复合函数27

1.3.3 反函数28

练习题1.333

1.4 初等函数34

1.4.1 基本初等函数35

1.4.2 初等函数38

习题140

练习题1.440

第2章 极限42

2.1 数列的极限42

2.1.1 数列42

2.1.2 数列？的极限43

2.1.3 数列的极限45

2.1.4 例题47

练习题2.151

2.2 收敛数列52

2.2.1 收敛数列的性质52

2.2.2 收敛数列的四则运算54

2.2.3 数列收敛的判别法59

2.2.4 数e64

2.2.5 例题66

2.2.6 子数列68

练习题2.270

2.3 函数极限的概念71

2.3.1 函数在一点的极限72

2.3.2 左、右极限76

2.3.3 函数在无穷远处的极限78

练习题2.384

2.4.1 函数极限的性质定理85

2.4 函数极限的定理85

练习题2.490

2.5 两个重要极限90

2.5.1 介绍两个常用的不等式90

2.5.2 ？=191

2.5.3 ？=e91

2.5.4 待定型极限93

2.5.5 例题93

练习题2.594

2.6 无穷小量与无穷大量95

2.6.1 关于无穷小量与无穷大量的定义及相互间的关系95

2.6.2 关于无穷小量与无穷大量的性质97

2.6.3 关于无穷小量的比较、无穷大量的比较99

2.6.4 例题101

练习题2.6102

习题*2102

第3章 连续函数104

3.1 连续函数104

3.1.1 连续函数的概念104

3.1.2 不连续点及其分类108

练习题3.1110

3.2.1 函数在一点连续的性质111

3.2 连续函数的性质111

3.2.2 在闭区间上连续函数的性质113

练习题3.2117

3.3 初等函数的连续性119

3.3.1 反函数的连续性119

3.3.2 初等函数的连续性120

练习题3.3122

习题3123

第4章 实数的连续性124

4.1.1 闭区间套定理125

4.1 实数连续性定理125

4.1.2 确界定理126

4.1.3 聚点定理131

4.1.4 有限覆盖定理134

4.1.5 柯西收敛准则136

练习题4.1139

4.2 闭区间上连续函数性质的证明140

4.2.1 有界性定理140

4.2.2 最大与最小值定理142

4.2.3 介值定理143

4.2.4 一致连续性定理145

练习题4.2146

习题4147

第5章 导数与微分148

5.1 导数148

5.1.1 导数的引进148

5.1.2 导数的定义150

5.1.3 例题153

练习题5.1156

5.2 求导法则157

5.2.1 导数的四则运算157

5.2.2 反函数求导法则161

5.2.3 复合函数求导法则163

5.2.4 初等函数的导数165

5.2.5 隐函数求导法167

5.2.6 参数方程求导法170

练习题5.2172

5.3 微分174

5.3.1 微分概念174

5.3.2 导数与微分175

5.3.3 微分的运算法则与公式177

5.3.5 微分在近似计算中的应用178

5.3.4 微分的几何意义178

练习题5.3180

5.4 高阶导数与高阶微分181

5.4.1 高阶导数及其运算法则181

5.4.2 莱布尼兹公式183

5.4.3 高阶微分185

练习题5.4187

习题5187

6.1 中值定理189

6.1.1 费尔马引理189

第6章 微分学中值定理和泰勒公式189

6.1.2 中值定理191

习题6.1206

6.2 泰勒公式208

6.2.1 泰勒公式208

6.2.2 泰勒公式的余项213

6.2.3 几个常用的初等函数的马克劳林展开式216

练习题6.2220

习题6220

第7章 导数的应用222

7.1 洛比达法则222

7.1.1 0/0型223

7.1.2 ∞/∞型228

7.1.3 其它待定型229

练习题7.1236

7.2 函数的单调性236

练习题7.2244

7.3 函数的极值244

练习题7.3258

7.4 函数作图259

7.4.1 函数的凹凸性及拐点260

7.4.2 曲线的渐近线268

7.4.3 描绘函数图像273

练习题7.4281

习题7282

第8章 不定积分284

8.1 不定积分的概念和性质285

8.1.1 原函数与不定积分的概念285

8.1.2 不定积分的性质288

8.1.3 基本积分表290

练习题8.1293

8.2 换元积分法294

8.2.1 第一换元法(凑微分法)295

8.2.2 第二换元法(作代换法)305

练习题8.2310

8.3 分部积分法312

练习题8.3319

8.4 有理函数的不定积分320

8.4.1 有理真分式的分解321

8.4.2 真分式的积分法325

8.4.3 有理函数的不定积分327

练习题8.4331

8.5 三角函数有理式的积分332

8.5.1 万能代换332

8.5.2 特殊的变量替换335

8.5.3 利用三角恒等式或其它简便方法336

练习题8.5337

习题8337

第9章 定积分340

9.1 定积分的概念340

9.1.1 两个实例340

9.1.2 定积分的定义343

9.1.3 定积分的几何意义346

练习题9.1347

9.2 定积分的存在性条件348

9.2.1 可积的必要条件348

9.2.2 小和与大和350

9.2.3 可积准则354

9.2.4 三类可积函数357

练习题9.2359

9.3 定积分的性质360

练习题9.3369

9.4 定积分的计算369

9.4.1 积分上限函数369

9.4.2 定积分的基本公式372

9.4.3 定积分的变量替换法374

9.4.4 定积分的分部积分法378

练习题9.4380

习题9381

第10章 定积分的应用384

10.1 微元法384

练习题10.1386

10.2 定积分在几何上的应用387

10.2.1 平面图形的面积387

10.2.2 平面曲线的弧长393

10.2.3 利用截面面积计算立体体积396

10.2.4 旋转体的体积398

10.2.5 旋转体的侧面积400

练习题10.2401

10.3.1 液体的压力402

10.3 定积分在物理上的应用402

10.3.2 变力作功404

10.3.3 非均匀曲线的质量405

练习题10.3406

10.4 定积分的近似计算407

10.4.1 梯形法407

10.4.2 抛物线法409

练习题10.4412

习题10413

11.1.1 级数的收敛与发散414

第11章 数项级数414

11.1 级数的收敛性及其性质414

11.1.2 收敛级数的性质421

练习题11.1428

11.2 正项级数429

11.2.1 正项级数敛散性判别的基本定理429

11.2.2 正项级数的比较判别法433

11.2.3 根式判别法与比式判别法437

练习题11.2444

11.3 变号级数445

11.3.1 交错级数446

11.3.2 绝对收敛级数与条件收敛级数450

练习题11.3452

习题11453

第12章 函数项级数456

12.1 函数级数的一致收敛456

12.1.1 函数级数的概念456

12.1.2 一致收敛概念457

12.1.3 一致收敛的判别法461

练习题12.1464

12.2 一致收敛函数级数的分析性质464

12.3 极限函数的分析性质473

练习题12.2473

练习题12.3476

习题12476

第13章 幂级数478

13.1 幂级数的收敛域478

13.1.1 幂级数478

13.1.2 幂级数的收敛性479

练习题13.1484

13.2 幂级数的性质485

13.2.1 一致收敛性485

12.2.2 幂级数的运算性质486

练习题13.2492

13.2 函数的幂级数展开式493

13.3.1 泰勒级数493

13.3.2 初等函数的幂级数展开式499

练习题13.3506

13.4 幂级数在近似计算上的应用507

13.4.1 一些数值计算507

13.4.2 对数计算及其造表原理511

13.4.3 三角函数的计算及其造表原理514

练习题13.4517

习题13518

第14章 广义积分520

14.1 无穷积分520

14.1.1 无穷积分收敛与发散的概念520

14.1.2 无穷积分的基本性质523

14.1.3 无穷积分与数值级数的关系526

练习题14.1533

14.2 瑕积分534

14.2.1 瑕积分收敛与发散的概念534

14.2.2 瑕积分的收敛判别法538

14.3 г函数简介541

练习题4.2541

习题14543

第15章 多元函数微分学545

15.1 平面点集545

15.1.1 平面及其子集545

15.1.2 邻域及有关概念546

练习题15.1549

15.2 二元函数概念549

15.2.1 二元函数的定义549

15.2.2 二元函数的定义域550

练习题15.2552

15.3 二元函数的极限与连续性553

15.3.1 二重极限553

15.3.2 累次极限557

15.3.3 二元函数的连续性559

15.3.4 在有界闭区域上二元连续函数的特性561

练习题15.3562

15.4 二元函数的偏导数与全微分564

15.4.1 偏导数的概念564

15.4.2 全微分的概念566

15.4.3 复合函数的偏导数570

15.4.4 一阶全微分的形式不变性573

练习题15.4574

15.5 隐函数及其求导575

15.5.1 隐函数及其求导575

15.5.2 隐函数存在定理577

练习题15.5580

15.6 n元函数微分学的有关问题简介580

15.6.1 n维空间中的点集580

15.6.2 n元函数及其极限与连续581

15.6.3 n元函数的偏导数与全微分583

15.6.4 n元复合函数及隐函数求导584

练习题15.6587

习题15588

第16章 二重积分590

16.1 二重积分的概念590

16.1.1 两个实际问题590

16.1.2 二重积分的定义593

16.1.3 二元函数可积的充分条件595

16.1.4 二重积分的性质596

练习题16.1599

16.2 二重积分的计算600

16.2.1 化二重积分为累次积分600

16.2.2 用极坐标计算二重积分609

练习题16.2613

16.3 二重积分的应用615

16.3.1 空间立体图形的体积615

16.3.2 平面图形的面积618

练习题16.3619

16.4 三重积分简介619

16.4.1 三重积分的概念619

16.4.2 三重积分计算方法举例622

练习题16.4631

习题16632

17.1.1 第一型曲线积分的概念633

第17章 曲线积分633

17.1 第一型曲线积分633

17.1.2 第一型曲线积分的性质634

17.1.3 第一型曲线积分的计算635

17.1.4 空间第一型曲线积分的定义637

17.2 第二型曲线积分638

17.2.1 第二型曲线积分的概念638

17.2.2 第二型曲线积分的计算640

17.2.3 空间第二型曲线积分642

17.3 第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系643

17.4 格林公式644

17.5 曲线积分与路线无关的条件647

17.5.1 第二型曲线积分与线路无关的条件647

17.5.2 已知函数的全微分求原函数650

习题17651

第18章 微分方程简介653

18.1 微分方程的一般概念653

18.1.1 微分方程和方程的阶655

18.1.2 方程的解656

18.1.3 通解 初始条件 特解656

18.1.4 例题657

练习题18.1660

18.2 一阶微分方程的初等积分法661

18.2.1 恰当方程661

18.2.2 变量分离的方程666

18.2.3 一阶线性方程668

18.2.4 初等变换法671

练习题18.2675

18.3 应用举例676

练习题18.3679

习题18679

附录：练习题与习题部分答案或提示680