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第一章 绪论1

1.1 孤立子的历史回顾1

1.2 孤立子解的构造方法概述3

1.2.1 反散射方法3

1.2.2 B？cklund变换及Darboux变换5

1.2.3 Hirota双线性方法8

1.2.4 Wronskian和Pfaffian技巧9

1.2.5 Painlevé分析法11

1.2.6 国内精确解求解方法简介12

1.3 论文的主要工作和结构14

1.3.1 论文的主要工作14

1.3.2 论文的结构安排16

第二章 孤子方程的双线性结构18

2.1 双线性微分算子的基本性质18

2.2 非线性发展方程的双线性化29

2.2.1 有理型变换30

2.2.2 对数型变换31

2.2.3 复对数型变换31

2.2.4 方程族的双线性化33

2.3 多孤子解的双线性结构37

2.3.1 KdV类型的双线性方程38

2.3.2 MKdV类型的双线性方程43

2.3.3 sine-Gordon类型的双线性方程45

2.3.4 Schr？dinger类型的双线性方程50

第三章 孤子方程的Wronskian解56

3.1 Wronskian的相关性质56

3.1.1 Wronskian的Plücker关系式及Jacobi公式56

3.1.2 KP方程的Wronskian解61

3.1.3 Grammian解65

3.2 Darboux变换和Crum定理68

3.3 非等谱MKdV方程的孤子解71

3.3.1 非等谱MKdV方程族71

3.3.2 非等谱MKdV方程Hirota形式解74

3.3.3 非等谱MKdV方程Wronskian形式解77

3.4 具非均匀项MKdV方程的孤子解80

3.4.1 具非均匀项MKdV方程Hirota形式解80

3.4.2 具非均匀项MKdV方程Wronskian形式解82

第四章 孤子方程的Pfaffian解86

4.1 孤子方程的Pfaffian解86

4.1.1 Pfaffian的定义及基本性质86

4.1.2 行列式与Wronskian的Pfaffian表示88

4.1.3 Pfaffian的展开性质90

4.1.4 Pfaffian的导数96

4.2 BKP方程的Pfaffian解99

4.2.1 N－孤子解的Pfaffian表示99

4.2.2 N－孤子解Grammian型的Pfaffian表示106

4.2.3 B？cklund变换的Pfaffian表示108

4.3 孤子方程的Pfaffian化111

4.3.1 Wronskian的Pfaffian化112

4.3.2 Gramanian的Pfaffian化116

第五章 双线性形式B？cklund变换121

5.1 B？cklund变换121

5.1.1 B？cklund变换的定义121

5.1.2 双线性与WE形式的B？cklund变换123

5.1.3 B？cklund变换与修正的发展方程126

5.2 非线性叠加公式128

5.2.1 可换性定理和非线性叠加公式128

5.2.2 双线性B？cklund变换的叠加公式131

5.2.3 Vakhnenko方程的非线性叠加公式133

5.3 Boussinesq方程的双线性B？cklund变换求解137

5.3.1 修正的双线性B？cklund变换137

5.3.2 Boussinesq方程的求解139

5.4 浅水波方程的双线性B？cklund变换求解146

5.4.1 双线性B？cklund变换的求解146

5.5 非等谱MKdV方程的双线性B？cklund变换求解151

第六章 孤子方程的各种精确解155

6.1 Hirota形式的推广155

6.1.1 浅水波方程新的精确解156

6.1.2 Ito方程新的精确解163

6.2 孤子方程的有理解166

6.2.1 长波极限法166

6.2.2 非线性叠加公式法169

6.3 双线性B？cklund变换的极限解172

6.3.1 Boussinesq方程的极限解172

6.3.2 5阶KdV方程的极限解181

6.4 广义Wronskian及其精确解184

6.4.1 广义Wronskian与Wronskian的联系184

6.4.2 广义Wronskian构造的精确解186

6.4.3 广义Wronskian构造的complexiton解192

附录A197

附录B199

参考文献201

致谢227