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第1章　集合与函数1

1.1 集合1

1.1.1　集合的概念1

1.1.2　集合的运算3

1.1.3　区间和邻域4

习题1.16

1.2　函数6

1.2.1　函数的概念6

1.2.2　函数的几种特性9

1.2.3　基本初等函数11

1.2.4　初等函数16

习题1.216

1.3　建立函数关系式17

习题1.318

复习题119

习题参考答案20

第2章 函数的极限与连续23

2.1　函数的极限23

2.1.1　数列的极限23

2.1.2　函数的极限25

习题2.128

2.2　无穷小量与无穷大量29

2.2.1　无穷小量29

2.2.2　无穷大量31

2.2.3　无穷大量与无穷小量的关系32

习题2.232

2.3　极限的运算法则33

2.3.1　极限的基本性质33

2.3.2　极限的运算法则33

习题2.336

2.4　两个重要的极限36

2.4.1　判定极限存在的两个准则37

2.4.2　两个重要极限公式37

习题2.440

2.5　函数的连续性40

2.5.1 函数连续的概念41

2.5.2　初等函数的连续性42

2.5.3　函数的间断点44

2.5.4　闭区间上连续函数的性质45

习题2.546

复习题247

习题参考答案48

第3章　函数的导数与微分50

3.1　导数的概念50

3.1.1 引例50

3.1.2　导数的概念51

3.1.3　导数的几何意义53

3.1.4　可导与连续的关系54

习题3.154

3.2　函数和、差、积、商的求导法则55

习题3.256

3.3　反函数求导法则和复合函数求导法则57

3.3.1　反函数求导法则57

3.3.2　复合函数求导法则58

3.3.3　初等函数的求导59

习题3.360

3.4　隐函数的求导及参数方程的求导61

3.4.1 隐函数的求导方法61

3.4.2　对数求导方法61

3.4.3 由参数方程确定的函数的求导法则62

习题3.463

3.5　高阶导数63

习题3.565

3.6　函数的微分65

3.6.1　微分的概念66

3.6.2　可微与可导的关系66

3.6.3　微分的几何意义67

3.6.4　微分公式与法则67

3.6.5　微分的应用68

习题3.669

复习题369

习题参考答案71

第4章　微分中值定理与导数的应用73

4.1　微分中值定理73

4.1.1　微分中值定理73

4.1.2　洛必达法则76

习题4.179

4.2　函数的单调性80

习题4.282

4.3 函数的极值与最值82

4.3.1　极值82

4.3.2　最值84

习题4.385

4.4 曲线的凹凸性与拐点86

习题4.487

4.5　图像的描绘87

4.5.1 渐近线87

4.5.2　图像的描绘88

习题4.589

4.6 曲率89

4.6.1 曲率的概念89

4.6.2　曲率的计算公式90

4.6.3 曲率圆与曲率半径90

习题4.691

复习题491

习题参考答案93

第5章　不定积分95

5.1 不定积分的概念和性质95

5.1.1 原函数95

5.1.2　不定积分的概念96

5.1.3　不定积分的几何意义97

5.1.4　不定积分的性质97

习题5.198

5.2　不定积分基本公式98

习题5.2100

5.3　换元积分法100

5.3.1　第一换元积分法100

5.3.2　第二换元积分法104

习题5.3106

5.4　分部积分法106

习题5.4108

5.5　积分表的使用方法109

习题5.5110

复习题5110

习题参考答案112

第6章 定积分115

6.1　定积分的概念115

6.1.1 引例115

6.1.2　定积分的概念117

6.1.3　定积分的几何意义118

6.1.4　定积分的性质120

习题6.1122

6.2　微积分基本公式122

6.2.1　积分上限函数122

6.2.2　微积分基本公式124

习题6.2125

6.3　定积分的计算126

6.3.1　换元积分法126

6.3.2　分部积分法128

习题6.3130

6.4　广义积分130

6.4.1　无穷区间上的广义积分130

6.4.2　无界函数的广义积分132

习题6.4134

6.5　定积分的应用134

6.5.1 微元法134

6.5.2　定积分在几何上的应用135

6.5.3　定积分在物理上的应用138

习题6.5140

复习题6140

习题参考答案142

第7章 向量代数与空间解析几何144

7.1　空间直角坐标系144

7.1.1　空间直角坐标系的概念144

7.1.2　空间中点的坐标145

7.1.3　两点间的距离公式和中点坐标表示145

习题7.1147

7.2　向量代数147

7.2.1 向量的概念147

7.2.2　向量的线性运算148

7.2.3　向量的坐标表示150

习题7.2153

7.3 向量的数量积和向量积153

7.3.1　两向量的数量积154

7.3.2　两向量的向量积156

习题7.3158

7.4　平面与空间直线158

7.4.1　图形与方程159

7.4.2　平面159

7.4.3　直线163

习题7.4167

7.5 曲面与空间曲线167

7.5.1 曲面168

7.5.2　空间曲线172

7.5.3 空间曲线在坐标面上的投影174

习题7.5175

复习题7175

习题参考答案177

第8章　多元函数微分学180

8.1 多元函数的概念和二元函数的极限与连续180

8.1.1　多元函数的概念180

8.1.2　二元函数的极限与连续183

习题8.1184

8.2　偏导数185

8.2.1 多元函数的偏导数185

8.2.2　高阶偏导数187

习题8.2188

8.3 全微分189

8.3.1　全微分的概念189

8.3.2　全微分的应用191

习题8.3192

8.4　多元复合函数的求导和隐函数的求导法则192

8.4.1 多元复合函数的求导法则192

8.4.2　隐函数的求导法则194

习题8.4196

8.5　偏导数在几何上的应用196

8.5.1 空间曲线的切线和法平面197

8.5.2　空间曲面的切平面和法线199

习题8.5200

8.6　多元函数的极值与最值200

8.6.1　多元函数的极值201

8.6.2　多元函数的最值202

8.6.3　条件极值203

习题8.6205

复习题8205

习题参考答案207

第9章　多元函数积分学211

9.1 二重积分的概念和性质211

9.1.1　二重积分的概念211

9.1.2　二重积分的几何意义213

9.1.3　二重积分的性质213

习题9.1214

9.2　二重积分的计算214

9.2.1　在直角坐标系下的计算214

9.2.2　在极坐标系下的计算218

习题9.2222

9.3　二重积分的应用222

9.3.1 二重积分在几何上的应用222

9.3.2　二重积分在物理上的应用224

习题9.3225

复习题9226

习题参考答案227

第10章　无穷级数229

10.1　常数项级数的概念及性质229

10.1.1 常数项级数的基本概念229

10.1.2　常数项级数的基本性质231

习题10.1232

10.2　正项级数及其审敛法232

习题10.2235

10.3　任意项级数及其审敛法236

10.3.1　交错级数及其审敛法236

10.3.2　绝对收敛与条件收敛237

习题10.3238

10.4　幂级数239

10.4.1 函数项级数的概念239

10.4.2　幂级数及其收敛性239

10.4.3　幂级数的性质242

10.4.4 函数的幂级数展开243

习题10.4247

复习题10248

习题参考答案249

第11章　常微分方程251

11.1　微分方程的基本概念251

习题11.1253

11.2　一阶微分方程及其解法254

11.2.1 可分离变量方程254

11.2.2　一阶线性微分方程256

习题11.2258

11.3　可降阶的高阶微分方程259

习题11.3261

11.4　二阶线性微分方程解的结构261

11.4.1　线性齐次方程解的结构261

11.4.2　二阶线性非齐次微分方程解的结构262

习题11.4262

11.5　二阶常系数齐次线性方程的解法263

习题11.5264

11.6　二阶常系数非齐次线性方程的解法265

习题11.6268

复习题11268

习题参考答案269

附录A　积分表271

附录B　常用数学公式282

参考文献285