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专题1 极限与连续1

1.1基本概念与内容提要1

1.一元函数基本概念1

2.数列的极限1

3.函数的极限1

4.证明数列或函数极限存在的方法2

5.无穷小量2

6.无穷大量3

7.求数列或函数的极限的方法3

8.函数的连续性4

1.2竞赛题与精选题解析5

1.求函数的表达式（例1.1—1.4）5

2.利用四则运算求极限（例1.5—1.18）7

3.利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.19—1.28）13

4.利用两个重要极限求极限（例1.29—1.32）18

5.利用等价无穷小因子代换求极限（例1.33—1.38）19

6.无穷小比较与无穷大比较（例1.39—1.42）21

7.连续性与间断点（例1.43—1.49）22

8.利用介值定理的证明题（例1.50—1.54）25

练习题一28

专题2 一元函数微分学30

2.1基本概念与内容提要30

1.导数的定义30

2.左、右导数的定义30

3.微分概念30

4.基本初等函数的导数公式31

5.求导法则31

6.高阶导数32

7.微分中值定理32

8.泰勒公式与马克劳林公式32

9.洛必达法则33

10.导数在几何上的应用34

2.2竞赛题与精选题解析35

1.利用导数的定义解题（例2.1—2.7）35

2.利用求导法则解题（例2.8—2.15）39

3.求高阶导数（例2.16—2.29）42

4.与微分中值定理有关的证明题（例2.30—2.49）48

5.马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.50—2.70）60

6.利用洛必达法则求极限（例2.71—2.81）74

7.导数在几何上的应用（例2.82—2.101）78

8.不等式的证明（例2.102—2.114）88

练习题二96

专题3 一元函数积分学99

3.1基本概念与内容提要99

1.不定积分基本概念99

2.基本积分公式99

3.不定积分的计算100

4.定积分基本概念101

5.定积分中值定理101

6.变限的定积分102

7.定积分的计算102

8.奇偶函数与周期函数定积分的性质102

9.定积分在几何与物理上的应用103

10.广义积分104

3.2竞赛题与精选题解析105

1.求原函数（例3.1—3.4）105

2.求不定积分（例3.5—3.21）107

3.利用定积分的定义求极限（例3.22—3.28）113

4.应用积分中值定理解题（例3.29—3.34）116

5.变限的定积分的应用（例3.35—3.50）119

6.定积分的计算（例3.51—3.71）128

7.定积分在几何与物理上的应用（例3.72—3.83）136

8.积分不等式的证明（例3.84—3.112）144

9.积分等式的证明（例3.113—3.115）163

10.广义积分（例3.116—3.125）166

练习题三172

专题4 多元函数微分学175

4.1基本概念与内容提要175

1.二元函数的极限与连续性175

2.偏导数与全微分175

3.多元复合函数与隐函数的偏导数177

4.高阶偏导数178

5.二元函数的极值178

6.条件极值178

7.多元函数的最值180

4.2竞赛题与精选题解析180

1.求二元函数的极限（例4.1—4.2）180

2.二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3—4.9 ）181

3.求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.10—4.20）184

4.求高阶偏导数（例4.21—4.30）189

5.求二元函数的极值（例4.31—4.35）195

6.求条件极值（例4.36—4.39）199

7.求多元函数在有界闭域上的最值（例4.40—4.41）201

练习题四202

专题5 多元函数积分学205

5.1基本概念与内容提要205

1.二重积分基本概念205

2.二重积分的计算206

3.交换二次积分的次序207

4.三重积分基本概念与计算207

5.重积分的应用209

6.曲线积分基本概念与计算209

7.格林公式211

8.曲面积分基本概念与计算212

9.斯托克斯公式215

10.高斯公式215

5.2竞赛题与精选题解析216

1.二重积分的计算（例5.1—5.16）216

2.交换二次积分的次序（例5.17—5.27）223

3.三重积分的计算（例5.28—5.32）229

4.与重积分有关的不等式的证明（例5.33—5.39）232

5.曲线积分的计算（例5.40—5.43）237

6.应用格林公式解题（例5.44—5.54）238

7.曲面积分的计算（例5.55—5.57）246

8.应用斯托克斯公式解题（例5.58—5.60）248

9.应用高斯公式解题（例5.61—5.66）250

10.多元函数积分学的应用题（例5.67—5.76）255

练习题五260

专题6 空间解析几何264

6.1基本概念与内容提要264

1.向量的基本概念与向量的运算264

2.空间的平面265

3.空间的直线265

4.空间的曲面266

5.空间的曲线267

6.2竞赛题与精选题解析268

1.向量的运算（例6.1—6.5）268

2.空间平面的方程（例6.6—6.9）270

3.空间直线的方程（例6.10—6.15）271

4.空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.16—6.27）273

5.空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.28—6.32）279

练习题六283

专题7 级数285

7.1基本概念与内容提要285

1.数项级数的主要性质285

2.正项级数敛散性判别法285

3.任意项级数敛散性判别法286

4.幂级数的收敛半径、收敛域与和函数286

5.初等函数关于x的幂级数展开式287

6.傅氏级数287

7.2竞赛题与精选题解析288

1.判别正项级数的敛散性（例7.1—7.14）288

2.判别任意项级数的敛散性（例7.15—7.26）296

3.求幂级数的收敛域与和函数（例7.27—7.44）302

4.求数项级数的和（例7.45—7.51）314

5.求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.52—7.58）318

6.求函数的傅氏级数展开式（例7.59）321

练习题七322

专题8 微分方程324

8.1基本概念与内容提要324

1.微分方程的基本概念324

2.一阶微分方程324

3.二阶微分方程325

4.微分方程的应用327

8.2竞赛题与精选题解析327

1.微分方程的特解（例8.1—8.3）327

2.变量可分离方程的应用题（例8.4—8.8）328

3.齐次微分方程的应用题（例8.9）332

4.一阶线性微分方程的应用题（例8.10—8.13）333

5.求解二阶线性微分方程（例8.14—8.21）335

6.求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.22—8.23）339

练习题八341

练习题答案与提示343