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第一章　矩阵理论的基本知识1

1.1　矩阵与线性变换1

1.1.1　矩阵与行列式，特征值与特征向量2

1.1.2　线性变换与矩阵表示，相似性与Jordan正规形式16

1.2　对称矩阵与Hermite矩阵，酉空间上的线性变换27

1.2.1　正规变换与正规矩阵28

1.2.2　Hermite正定与正半定矩阵35

1.2.3　幂等变换与幂等矩阵45

参考文献49

第二章　范数51

2.1　向量范数51

2.1.1　定义与例子51

2.1.2　分析与几何性质54

2.2　矩阵范数59

2.2.1　广义矩阵范数59

2.2.2　矩阵范数63

2.3　关于向量范数与矩阵范数的进一步结果72

2.3.1　对偶向量范数72

2.3.2　绝对向量范数及其导出的矩阵范数76

2.3.3　广义矩阵范数与矩阵范数的补充80

参考文献87

第三章　矩阵函数88

3.1　简单矩阵的函数88

3.1.1　定义88

3.1.2　简单矩阵函数的谱分解及其应用91

3.2　一般矩阵的函数95

3.2.1　一般定义与性质95

3.2.2　一般矩阵函数的谱分解103

3.2.3　矩阵函数的序列与级数109

3.3　矩阵函数f（A）：f为解析函数情形116

3.3.1　矩阵值函数的分析运算与矩阵的预解式116

3.3.2　矩阵函数的积分形式定义与有关性质121

3.4　对微分方程的应用125

3.4.1　一阶常系数常微分方程组解的表达式125

3.4.2　可观测与可控的定常线性系统130

参考文献139

第四章　线性矩阵方程与惯性理论140

4.1　线性矩阵方程140

4.1.1　矩阵的张量积140

4.1.2　矩阵方程的可解条件144

4.1.3　矩阵方程AX+XB=C149

4.2　矩阵惯性定理154

4.2.1　Ляпунов稳定性定理与Stein稳定性定理155

4.2.2　矩阵惯性定理159

4.3 Routh-Hurwitz问题与Schur-Cohn问题167

4.3.1　多项式对的Bezout矩阵与结式矩阵167

4.3.2　Routh-Hurwitz问题与Schur-Cohn问题：复多项式的情形174

4.3.3　Routh-Hurwitz问题：实多项式的情形179

参考文献190

第五章　矩阵的广义逆192

5.1　基于Penrose方程的λ-逆192

5.1.1　基本概念与｛1｝-逆192

5.1.2　其他λ-逆199

5.1.3　在求解线性矩阵方程问题中的应用207

5.2　方阵的谱广义逆211

5.2.1　Drazin逆211

5.2.2　群逆与广义左（右）逆215

5.2.3　矩阵的广义逆正性与单调性219

参考文献223

第六章　特征值的定位与扰动225

6.1　矩阵非奇异性定理与排除定理225

6.1.1　严格对角占优矩阵与Gerschgorin圆盘定理225

6.1.2　不可约矩阵的情形231

6.2　对角占优矩阵的推广及其相应的排除定理235

6.2.1　Brauer定理与Ostrowski定理235

6.2.2　Shemesh定理与Brualdi定理238

6.3　矩阵特征值的扰动244

6.3.1　特征值的连续性结果与矩阵的谱变化244

6.3.2　简单矩阵的特征值扰动248

参考文献256

第七章　非负矩阵理论257

7.1 非负不可约矩阵的Perron-Frobenius理论257

7.1.1　最基本的结果257

7.1.2　Perron-Frobenius理论的进一步结果266

7.2　一般非负矩阵的情形274

7.2.1　一般非负矩阵Perron-Frobenius理论的古典结果274

7.2.2　Perron-Frobenius定理的进一步推广278

7.3　随机矩阵与双随机矩阵286

7.3.1　随机矩阵与有限齐次Markov链286

7.3.2　双随机矩阵292

参考文献298

第八章　M-矩阵299

8.1　非奇异M-矩阵299

8.1.1　主子式皆为正实数的实方阵300

8.1.2　非奇异M-矩阵的若干特性303

8.1.3　G-函数与非奇异M-矩阵311

8.2　一般M-矩阵318

8.2.1　一般M-矩阵的特征318

8.2.2　带有“性质c”的M-矩阵325

8.2.3　M-矩阵与有限齐次Markov链330

8.3　数理经济学中的投入-产出模型分析335

8.3.1　引言与开式Leontief模型335

8.3.2　闭式Leontief模型345

参考文献350

符号表352