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第1章 矩阵及其基本运算1

1.1 线性方程组与矩阵1

1.1.1 线性方程组及高斯消元法1

1.1.2 矩阵的概念3

习题1.18

1.2 矩阵的运算9

1.2.1 矩阵的加法9

1.2.2 矩阵的数乘11

1.2.3 矩阵的乘法12

1.2.4 矩阵的转置17

习题1.218

1.3 可逆矩阵20

1.3.1 可逆矩阵的概念20

1.3.2 可逆矩阵的性质22

习题1.323

1.4 分块矩阵23

1.4.1 矩阵的分块23

1.4.2 分块矩阵的运算性质24

习题1.428

1.5 应用举例29

1.5.1 矩阵在销售情况统计中的应用29

1.5.2 矩阵在电路设计问题中的应用30

1.5.3 邻接矩阵及其应用32

第2章 矩阵的初等变换及方阵的行列式34

2.1 矩阵的初等变换与初等矩阵34

2.1.1 矩阵的初等变换34

2.1.2 初等矩阵38

2.1.3 用初等变换求矩阵的逆矩阵40

习题2.142

2.2 矩阵的秩43

2.2.1 引例43

2.2.2 矩阵的标准形与矩阵的秩45

2.2.3 矩阵秩的性质47

习题2.248

2.3 方阵的行列式49

2.3.1 二、三元线性方程组与二、三阶行列式49

2.3.2 行列式的性质55

2.3.3 行列式的计算58

习题2.361

2.4 行列式的应用63

2.4.1 利用行列式求矩阵的逆矩阵63

2.4.2 行列式与矩阵的秩65

2.4.3 克莱姆法则66

习题2.468

2.5 应用举例69

2.5.1 利用行列式求平行四边形的面积69

2.5.2 行列式在经济上的应用71

2.5.3 矩阵运算在密码学中的应用71

第3章 线性方程组及向量的线性相关性73

3.1 线性方程组有解的判定定理73

3.1.1 线性方程组求解73

3.1.2 线性方程组解的判定77

习题3.178

3.2 向量的线性组合和线性表示80

3.2.1 n维向量及其线性运算80

3.2.2 向量的线性组合和线性表示82

习题3.283

3.3 向量间的线性关系84

3.3.1 线性相关性概念84

3.3.2 线性相关性的判定86

习题3.388

3.4 向量组的秩89

3.4.1 极大线性无关组89

3.4.2 向量组的秩89

习题3.490

3.5 线性方程组解的结构91

3.5.1 齐次线性方程组解的结构91

3.5.2 非齐次线性方程组解的结构93

习题3.595

3.6 应用举例95

3.6.1 交通流量95

3.6.2 市场占有率的稳态向量97

3.6.3 阅读问题98

第4章 相似矩阵99

4.1 方阵的特征值与特征向量99

4.1.1 方阵的特征值的定义99

4.1.2 特征值、特征向量的基本性质101

习题4.1103

4.2 相似矩阵及矩阵对角化条件104

4.2.1 相似矩阵的定义104

4.2.2 相似矩阵的性质105

4.2.3 方阵对角化105

习题4.2110

4.3 正交矩阵110

4.3.1 向量的内积111

4.3.2 正交向量组112

4.3.3 正交矩阵113

习题4.3114

4.4 实对称矩阵的对角化114

4.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量114

4.4.2 实对称矩阵的对角化115

习题4.4116

4.5 应用举例117

4.5.1 色盲遗传模型117

4.5.2 兔子与狐狸的生态模型118

第5章 二次型121

5.1 二次型的概念121

5.1.1 二次型及其矩阵表示121

5.1.2 二次型的标准形122

习题5.1123

5.2 实二次型的标准形124

习题5.2128

5.3 实二次型的正定性128

5.3.1 正定二次型概念及其判断128

5.3.2 正定矩阵及其判别129

习题5.3130

5.4 应用举例131

5.4.1 多元函数极值131

5.4.2 证明不等式132

5.4.3 二次曲线132

参考答案134