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第1章 非线性知识初步1

1.1关于非线性1

1.1.1线性和非线性1

1.1.2混沌的发现3

1.2无阻尼单摆10

1.2.1小角度无阻尼单摆 椭圆点10

1.2.2任意角度无阻尼单摆振动 双曲点12

1.2.3无阻尼单摆的相图与势能曲线16

1.3阻尼振子18

1.3.1阻尼单摆 不动点18

1.3.2杜芬方程20

1.3.3非线性阻尼 范德玻耳方程23

1.4相图方法27

1.4.1相轨线与相流27

1.4.2三维相空间29

1.5简单数学分岔35

1.5.1切分岔35

1.5.2转换键型分岔36

1.5.3叉式分岔37

1.5.4霍夫型分岔38

思考题与练习题40

参考文献41

第2章 离散系统动力学42

2.1逻辑斯蒂映射42

2.1.1微分方程与映射方程42

2.1.2逻辑斯蒂映射的导出与计算43

2.1.3逻辑斯蒂映射的不动点及其稳定性46

2.1.4逻辑斯蒂映射的周期解及其稳定性50

2.2李雅普诺夫指数55

2.2.1初始状态的敏感性55

2.2.2李雅普诺夫指数56

2.2.3逻辑斯蒂映射的李雅普诺夫指数计算58

2.3状态演化的数学模型60

2.3.1帐篷映射与锯齿映射60

2.3.2巴克尔变换映射62

2.3.3斯梅尔马蹄映射63

2.4埃侬吸引子64

2.4.1二维映射64

2.4.2埃侬映射66

2.4.3埃侬吸引子68

2.5标准映射73

2.5.1标准映射的不动点73

2.5.2标准映射相图74

思考题与练习题77

参考文献78

第3章 连续系统动力学79

3.1非线性系统平衡点的稳定性79

3.1.1一维非线性系统79

3.1.2二维非线性系统81

3.1.3三维非线性系统86

3.2吸引子89

3.2.1吸引子的类型89

3.2.2吸引子与李雅普诺夫指数91

3.3洛仑兹吸引子92

3.3.1瑞利-贝纳德对流92

3.3.2洛仑兹方程94

3.3.3洛仑兹方程的分岔96

3.3.4洛仑兹方程对流的稳定性98

3.3.5洛仑兹吸引子99

3.4其他几个典型奇怪吸引子101

3.4.1罗斯勒吸引子101

3.4.2受驱单摆的奇怪吸引子106

3.4.3受驱杜芬奇怪吸引子111

思考题与练习题119

参考文献120

第4章 混沌道路与混沌控制122

4.1由倍周期分岔走向混沌122

4.1.1普适性122

4.1.2倍周期分岔混沌的实验检验127

4.2阵发性混沌与混沌危机130

4.2.1阵发性混沌现象130

4.2.2阵发性混沌机理分析131

4.2.3 混沌危机135

4.3同步、锁模与混沌136

4.3.1同步与锁模136

4.3.2标准圆映射139

4.3.3拟周期混沌道路的实验验证145

4.4湍流道路148

4.4.1湍流是什么？148

4.4.2湍流道路149

4.4.3贝纳德对流与库埃特流实验150

4.5哈密顿系统中的不规则运动152

4.5.1哈密顿系统152

4.5.2扰动与KAM定律156

4.5.3有理环面破裂与同（异）宿结构158

4.6电子混沌电路161

4.6.1非线性微分方程混沌特性的模拟电子电路161

4.6.2弹跳运动的电子模拟169

4.7混沌现象的判断与控制172

4.7.1混沌的基本特征与分类172

4.7.2混沌现象的分析与判断174

4.7.3混沌的控制与应用181

思考题与练习题190

参考文献191

第5章 分形193

5.1规则分形与相似维数195

5.1.1欧几里德维数与相似维数195

5.1.2规则分形197

5.2豪斯道夫维数、容量维数与不规则分形203

5.2.1豪斯道夫维数203

5.2.2容量维数204

5.2.3自然界分形207

5.2.4布朗运动209

5.3时序分析与关联维数210

5.3.1时序分析210

5.3.2关联维数213

5.4分形生长214

5.4.1扩散置限聚集模型214

5.4.2黏性指进217

5.5动力学与分形218

5.5.1奇怪吸引子的分形维数218

5.5.2魔鬼楼梯的分形维数221

5.5.3吸引域边界上的分形223

5.5.4一维映射的分形分析225

5.5.5奇怪排斥子与康托尔点集228

5.5.6复数域上的分形232

思考题与练习题236

参考文献237

第6章 孤立波238

6.1历史回顾238

6.1.1一个奇特的水波238

6.1.2孤立波与孤立子240

6.2 KdV方程243

6.2.1波动中的非线性会聚效应243

6.2.2波动中的色散244

6.2.3 KdV方程245

6.2.4 KdV方程的孤立波解246

6.2.5 KdV方程孤立波解的相图249

6.3正弦-高登方程250

6.3.1一维原子链与正弦-高登（sine-Gordon）方程250

6.3.2正弦-高登方程孤立波解251

6.4非线性薛定谔方程与光学孤立子254

6.4.1光纤中的光脉冲压缩与色散254

6.4.2非线性薛定谔方程及孤立波解259

6.4.3光学孤立子的传播特性262

6.4.4全光型孤立子通信263

思考题与练习题266

参考文献267