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绪论1

第一章 张量和外形式6

1.1向量空间和对偶向量空间6

1.1.1 n维向量空间6

1.1.2对偶向量空间10

1.1.3 Einstein和式约定11

1.1.4向量空间及其对偶向量空间的基底变换12

1.1.5向量空间及其对偶向量空间中元素的分量的变换公式13

1.2张量15

1.2.1协变张量15

1.2.2 1阶反变、r阶协变的张量17

1.2.3r阶反变、s阶协变的张量19

1.2.4张量的缩并21

1.2.5欧氏向量空间22

1.3外形式25

1.3.1r次外形式25

1.3.2广义Kronecker-δ记号26

1.3.3反对称化运算27

1.3.4外积27

1.3.5 r次外形式空间？rV*的基底30

1.3.6外多项式31

1.3.7线性映射的诱导映射34

习题一34

第二章 微分流形37

2.1拓扑流形37

2.1.1拓扑结构37

2.1.2拓扑基38

2.1.3连续函数和连续映射40

2.1.4几个拓扑性质40

2.1.5 n维拓扑流形41

2.2光滑流形43

2.2.1 C∞坐标覆盖43

2.2.2 光滑流形的例子45

2.2.3光滑函数和光滑映射51

2.3单位分解定理53

2.3.1截断函数53

2.3.2 局部定义的光滑函数扩充成为大范围定义的光滑函数56

2.3.3若干拓扑概念和引理56

2.3.4单位分解定理60

习题二62

第三章 切向量场65

3.1切空间66

3.1.1切向量66

3.1.2切空间68

3.1.3切空间TpM的基底和维数69

3.1.4切空间TpM的自然基底在局部坐标变换时的变换规律72

3.1.5余切向量和余切空间73

3.1.6切映射75

3.1.7光滑映射在一点的秩77

3.1.8余切映射78

3.2切向量场80

3.2.1切丛80

3.2.2 C∞切向量场82

3.2.3 C∞切向量场作为作用在光滑函数上的算子84

3.2.4 C∞切向量场的Poisson括号积87

3.2.5 C∞切向量场Poisson括号积的局部坐标表示89

3.2.6在光滑流形之间的光滑映射下相关的光滑切向量场92

3.3光滑流形上的单参数变换群95

3.3.1单参数变换群95

3.3.2单参数变换群的诱导切向量场96

3.3.3局部单参数变换群98

3.3.4 M上的光滑切向量场生成局部单参数变换群100

3.3.5 紧致光滑流形上的光滑切向量场生成单参数变换群105

3.3.6在C∞同胚下不变的光滑切向量场110

3.3.7李导数112

习题三115

第四章 光滑张量场和外微分式120

4.1光滑张量场120

4.1.1（r，s）型张量丛120

4.1.2光滑的（r，s）型张量场122

4.1.3r阶协变张量场123

4.1.4作为r重线性映射的r阶协变张量场125

4.1.5r阶协变张量场的李导数130

4.1.6r次外微分式133

4.2外微分式的外微分136

4.2.1外微分136

4.2.2外微分运算唯一性的证明136

4.2.3外微分运算存在性的证明138

4.2.4外微分的求值公式141

4.2.5拉回映射和外微分145

4.3外微分式的积分148

4.3.1向量空间的定向148

4.3.2可定向微分流形149

4.3.3可定向微分流形的判定定理154

4.3.4 n次外微分式在n维有向光滑流形上的积分155

4.4 Stokes定理161

4.4.1微积分基本定理161

4.4.2带边区域和它的边界162

4.4.3有向光滑流形中带边区域的边界的诱导定向163

4.4.4 Stokes定理165

4.4.5 Stokes定理的证明166

4.4.5.1 ∪∩？D=？的情形166

4.4.5.2 ∪∩？D≠？的情形167

习题四170

第五章 李群的初步知识174

5.1李群的定义174

5.1.1定义174

5.1.2李群的例子174

5.1.3李群上的光滑同胚177

5.2李群的李代数177

5.2.1左不变向量场177

5.2.2李群的李代数179

5.2.3李群的结构常数的局部坐标表达式180

5.2.4李氏基本定理181

5.2.5若干计算实例182

5.3 Maurer-Cartan形式186

5.3.1左不变微分式186

5.3.2左不变微分式构成李群的李代数的对偶向量空间188

5.3.3左不变微分式的局部坐标表达式188

5.3.4 Maurer-Cartan方程189

5.4指数映射195

5.4.1李群的单参数子群195

5.4.2左不变向量场生成的单参数变换群195

5.4.3由X？TeG生成的单参数子群θx197

5.4.4指数映射及其性质202

5.5李氏变换群204

5.5.1李氏变换群的定义204

5.5.2李氏变换群的例子205

5.5.3有效作用和自由作用的李氏变换群208

5.5.4基本向量场209

习题五213

第六章 联络216

6.1联络的概念217

6.1.1光滑流形上的联络217

6.1.2联络的局部坐标表达式217

6.1.3联络系数在局部坐标变换时的变换公式219

6.1.4联络的存在性222

6.1.5联络形式224

6.2仿射联络空间226

6.2.1光滑切向量场的协变导数和协变微分226

6.2.2光滑张量场的协变导数和协变微分228

6.2.3切向量沿曲线的平行移动232

6.2.4挠率张量和曲率张量233

6.2.5挠率张量和曲率张量是仿射联络空间偏离仿射空间的量度237

6.2.6挠率形式和曲率形式240

6.3黎曼流形上的黎曼联络244

6.3.1黎曼几何的基本定理244

6.3.2黎曼联络的联络形式248

6.3.3黎曼曲率张量252

6.3.4截面曲率255

6.3.5常曲率空间的黎曼曲率张量259

6.3.6 Ricci曲率和数量曲率263

6.4向量丛上的联络论266

6.4.1向量丛266

6.4.1.1向量丛的定义266

6.4.1.2转移函数族268

6.4.1.3向量丛的截面270

6.4.1.4黎曼向量丛271

6.4.2向量丛上的联络271

6.4.3曲率形式和Bianchi恒等式273

6.4.4黎曼向量丛上的相容联络275

6.4.5 Pontryagin示性类277

6.4.5.1矩阵的特征多项式277

6.4.5.2 Pontryagin示性式278

6.4.5.3陈省身-Weil定理280

6.4.6复向量丛和陈省身示性类283

6.4.6.1复向量空间283

6.4.6.2 Hermite向量空间285

6.4.6.3复向量丛287

6.4.6.4复向量丛上的联络288

6.4.6.5 陈省身示性类289

习题六292

附录 一阶偏微分方程组的可积性295

部分习题答案或提示299

参考文献315

索引316