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第一章 函数的极限与连续1

第一节 函数1

一、区间与邻域1

二、函数的定义2

三、函数的几何性质4

四、反函数6

五、复合函数7

六、基本初等函数与初等函数8

习题1-19

第二节 数列的极限9

一、数列的概念10

二、数列极限的定义11

三、数列极限的性质11

四、数列极限存在的准则12

五、数列的子列14

习题1-215

第三节 函数的极限15

一、自变量趋向于无穷大时函数的极限15

二、自变量趋向于有限值时函数的极限17

三、函数极限的性质19

四、函数极限存在的准则19

习题1-320

第四节 无穷小量与无穷大量20

一、无穷小量20

二、无穷大量21

习题1-422

第五节 极限的运算法则23

一、极限的四则运算法则23

二、运用四则运算法则求极限举例24

三、复合函数极限的运算法则30

习题1-531

第六节 两个重要极限33

一、lim x→0 sinx/x =133

二、lim x→∞ （1＋1/x）x=e35

习题1-639

第七节 无穷小量阶的比较39

一、无穷小量阶的比较的定义40

二、无穷小量的等价替代41

习题1-743

第八节 函数的连续性与间断点43

一、函数的连续性43

二、函数的间断点47

习题1-849

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性50

一、连续函数的运算50

二、初等函数的连续性50

三、闭区间上连续函数的性质51

习题1-953

综合练习题一53

第二章 导数与微分56

第一节 导数的概念56

一、引例56

二、导数的定义58

三、导数的几何意义63

四、函数的可导性与连续性的关系64

习题2-166

第二节 导数的运算法则67

一、导数的四则运算法则67

二、反函数的求导法则69

三、复合函数的求导法则71

习题2-274

第三节 隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法76

一、隐函数的求导法76

二、由参数方程所确定的函数的求导法77

习题2-380

第四节 函数的微分81

一、微分的定义81

二、可微与可导的关系82

三、基本初等函数的微分公式83

四、微分的运算法则83

五、微分的几何意义86

六、微分在近似计算中的应用86

习题2-488

第五节 高阶导数与高阶微分89

一、高阶导数89

二、高阶微分94

习题2-595

综合练习题二96

第三章 微分中值定理与导数的应用99

第一节 微分中值定理99

一、费马引理99

二、罗尔中值定理99

三、拉格朗日中值定理101

四、柯西中值定理103

习题3-1104

第二节 洛必达法则104

一、洛必达法则104

二、其他类型的未定式106

三、需要注意的问题107

习题3-2109

第三节 泰勒公式109

一、带有拉格朗日余项的泰勒公式110

二、带有佩亚诺余项的泰勒公式111

习题3-3113

第四节 函数的单调性与极值114

一、函数的单调性114

二、函数的极值117

三、函数的最大值和最小值120

习题3-4123

第五节 曲线的凹凸、拐点与渐近线124

一、曲线的凹凸与拐点124

二、曲线的渐近线129

三、函数图形的描绘130

习题3-5132

第六节 导数在经济分析中的应用133

一、边际分析133

二、弹性分析136

习题3-6140

综合练习题三140

第四章 积分144

第一节 定积分的概念与性质144

一、定积分问题举例144

二、定积分的定义146

三、定积分的几何意义148

四、定积分的性质149

习题4-1152

第二节 原函数与微积分基本定理153

一、原函数153

二、积分上限的函数及其导数154

三、牛顿-莱布尼兹公式158

习题4-2160

第三节 不定积分的概念161

一、不定积分的定义161

二、不定积分与微分的关系162

三、不定积分的性质163

四、不定积分的几何意义164

五、不定积分的直接积分法164

习题4-3166

第四节 不定积分的换元积分法166

一、第一类换元积分法166

二、第二类换元积分法174

习题4-4180

第五节 不定积分的分部积分法及分段函数的不定积分181

一、不定积分的分部积分法181

二、分段函数的不定积分185

习题4-5186

第六节 有理函数的不定积分186

一、有理函数的不定积分187

二、三角函数有理式的积分193

习题4-6195

第七节 定积分的换元法和分部积分法196

一、定积分的换元积分法196

二、定积分的分部积分法199

习题4-7202

第八节 广义积分与Gamma函数203

一、无穷区间上的广义积分203

二、无界函数的广义积分205

三、Γ函数207

习题4-8208

综合练习题四208

第五章 定积分的应用213

第一节 微元法213

第二节 定积分的几何应用214

一、平面图形的面积214

二、体积217

三、平面曲线的弧长220

习题5-2222

第三节 定积分的物理及经济应用222

一、变力沿直线所做的功222

二、定积分的经济应用224

习题5-3225

综合练习题五225

第六章 多元函数微分学227

第一节 空间解析几何简介227

一、空间直角坐标系227

二、空间两点间的距离228

三、空间曲面229

四、空间曲线231

五、常见的曲面231

六、空间曲线在坐标面上的投影234

习题6-1235

第二节 多元函数的极限与连续236

一、平面点集的基本概念236

二、多元函数的概念237

三、多元函数的极限240

四、多元函数的连续性241

习题6-2243

第三节 偏导数243

一、偏导数的定义243

二、偏导数的几何意义246

三、高阶偏导数247

习题6-3249

第四节 全微分249

一、偏增量与全增量250

二、全微分的定义250

三、可微的条件250

四、全微分在近似计算中的应用253

习题6-4254

第五节 多元复合函数的求导法则255

一、多元复合函数的求导法则255

二、全微分的形式不变性260

习题6-5261

第六节 隐函数的求导公式261

一、一个方程的情形261

二、方程组的情形265

习题6-6266

第七节 多元函数的极值267

一、多元函数的极值267

二、多元函数的最大值和最小值269

三、条件极值与拉格朗日乘数法270

习题6-7272

综合练习题六272

第七章 二重积分276

第一节 二重积分的概念与性质276

一、实际背景276

二、二重积分的定义277

三、二重积分的性质278

习题7-1280

第二节 直角坐标系下二重积分的计算281

习题7-2288

第三节 极坐标系下二重积分的计算289

习题7-3293

第四节 二重积分的换元法与广义二重积分293

习题7-4295

综合练习题七296

第八章 无穷级数299

第一节 常数项级数的概念和性质299

一、常数项级数的概念299

二、等比级数301

三、无穷级数的基本性质301

习题8-1303

第二节 正项级数及其审敛法304

一、正项级数收敛的充分必要条件304

二、比较审敛法304

三、比值审敛法与根值审敛法308

习题8-2310

第三节 任意项级数的审敛法310

一、交错级数及其审敛法310

二、绝对收敛与条件收敛311

习题8-3313

第四节 幂级数313

一、函数项级数的概念313

二、幂级数及其收敛性314

三、幂级数的运算性质318

习题8-4320

第五节 函数展开成幂函数321

一、泰勒级数321

二、函数展开成幂级数322

习题8-5326

综合练习题八326

第九章 微分方程330

第一节 微分方程的基本概念330

习题9-1332

第二节 一阶微分方程333

一、可分离变量的微分方程333

二、齐次方程336

三、一阶线性微分方程338

四、伯努利方程343

习题9-2344

第三节 可降阶的高阶微分方程345

一、y（n）=f（x）型的微分方程345

二、y″=f（x，y′）型的微分方程346

三、y″=f（y，y′）型的微分方程347

习题9-3349

第四节 二阶常系数线性微分方程349

一、二阶线性微分方程的解的结构349

二、二阶常系数齐次线性微分方程351

三、二阶常系数非齐次线性微分方程355

习题9-4360

综合练习题九361

附录1 初等数学常用公式364

附录2 参考答案369

参考文献396