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绪论 非线性现象1

0.1 从线性到非线性1

0.2 生态系统中的非线性现象2

0.3 非线性化学振荡6

0.4 单摆的非线性特性9

0.5 非线性物理的基础——非线性动力学的发展11

第1章 研究非线性物理系统的方法14

1.1 相平面和不动点16

1.1.1 不动点的分类16

1.1.2 不动点的稳定性17

1.2 庞加莱映射23

1.3 李雅普诺夫稳定性和结构稳定性26

1.3.1 李雅普诺夫意义下的稳定（稳定性理论）27

1.3.2 结构稳定性28

1.4 中心流形29

1.4.1 状态空间的划分29

1.4.2 不动点稳定性的判别31

1.4.3 不动点的中心流形方法32

1.5 近似方法38

1.5.1 自治系统的KBM方法38

1.5.2 非自治系统的KBM方法40

第2章 物理学中的非线性振荡和混沌吸引子43

2.1 非线性等离子体振荡43

2.2 非线性共振47

2.2.1 线性共振47

2.2.2 非线性共振50

2.2.3 自激系统52

2.2.4 周期吸引子53

2.3 混沌吸引子56

2.3.1 抽象动力学基础56

2.3.2 伯克霍夫-肖吸引子58

2.3.3 非线性恢复力系统65

2.3.4 于达混沌吸引子72

2.3.5 非平稳态非线性受迫振荡74

2.3.6 勒斯勒尔吸引子77

第3章 分形83

3.1 分形维的计算83

3.2 康托尔集87

3.3 增殖过程89

3.4 布朗运动和分形91

3.5 时间分形记录95

3.6 自相似和自仿射97

3.7 分形面100

3.7.1 随机平移面101

3.7.2 分形面的产生101

3.7.3 分子分形面及分形面的观察103

3.8 自然界中的分形104

3.8.1 岛屿的分形104

3.8.2 云的分形维106

第4章 从分岔到混沌108

4.1 流的分岔108

4.1.1 不动点的局部分岔109

4.1.2 环的局部分岔120

4.1.3 连续分岔和不连续分岔122

4.1.4 大范围分岔124

4.2 突变135

4.2.1 基本突变集135

4.2.2 汤姆突变理论137

4.2.3 塞曼突变机构141

4.3 映射的分岔144

4.3.1 一维映射的稳定性145

4.3.2 一维映射的分岔147

4.3.3 二维映射的稳定性155

4.3.4 二维映射的分岔160

4.4 映射的混沌行为161

4.4.1 一维映射162

4.4.2 一维映射的分岔与混沌164

4.4.3 二维映射的分岔与混沌176

4.5 复映射181

4.5.1 复平面上的多项式映射181

4.5.2 周期点183

4.5.3 茹利亚集184

4.5.4 芒德波罗集190

4.6 混沌的实验观察195

4.6.1 别洛乌索夫-扎博京斯基反应195

4.6.2 瑞利-贝纳尔对流和库埃特-泰勒系统198

4.7 混沌吸引子的分岔201

4.7.1 倍周期201

4.7.2 阵发201

4.7.3 滞后与不可捉摸突变204

4.7.4 双参数控制的分岔206

4.8 混沌系统的控制208

4.8.1 嵌入方法209

4.8.2 控制210

第5章 物理学中的分岔与混沌212

5.1 非线性流212

5.1.1 线性三阶方程212

5.1.2 非线性流214

5.2 洛伦茨吸引子215

5.2.1 洛伦茨方程216

5.2.2 对流的不稳定性221

5.2.3 洛伦茨混沌吸引子222

5.2.4 洛伦茨混沌吸引子的形成224

5.2.5 复洛伦茨模型228

5.3 波场中粒子运动的非线性现象234

5.3.1 储存环中的物理现象234

5.3.2 数学模型235

5.3.3 KAM定理，共振和阿诺德扩散236

5.3.4 标准映射240

5.4 量子混沌243

5.4.1 能级间距分布243

5.4.2 能级排斥244

5.4.3 能级间距的分形分布245

第6章 孤立子与逆散射变换246

6.1 KdV方程的基本性质247

6.1.1 非线性效应和色散247

6.1.2 行波解249

6.1.3 守恒250

6.1.4 缪拉变换251

6.2 逆散射变换原理253

6.2.1 和量子力学的联系253

6.2.2 傅里叶变换254

6.2.3 直接散射问题255

6.2.4 逆散射问题256

6.3 逆散射变换，KdV方程的一般解257

6.3.1 KdV方程的一般解257

6.3.2 逆散射变换260

6.4 孤立子解262

6.4.1 单孤立子解264

6.4.2 双孤立子解264

6.4.3 一般解266

6.4.4 正弦戈登方程267

6.4.5 非线性薛定谔方程269

6.4.6 腊克斯对271

6.5 贝克隆德变换272

第7章 耦合映射与元胞自动机277

7.1 耦合映射277

7.1.1 图灵耦合映射278

7.1.2 稳定性278

7.1.3 初始条件284

7.1.4 不同参数时的空-时图形284

7.2 元胞自动机286

7.2.1 基本元胞自动机287

7.2.2 一般元胞自动机295

7.2.3 一维元胞自动机的熵301

7.3 序和自组织306

7.3.1 复杂性306

7.3.2 序308

7.3.3 自组织310

附录315

A.1 非线性系统的稳定性判别315

A.2 霍奇金-赫胥黎方程317

A.3 某些一阶非线性微分方程的解318

A.4 某些非线性差分方程的解320

A.5 离散卷积326

A.6 周期卷积327

A.7 四次代数方程的解328

习题329

非线性物理学英汉人名对照表337

参考文献340