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上篇1

第一章　函数与极限1

§1.1 学习要求1

§1.2　重要概念、定理及公式1

§1.3　典型题型的解题方法及技巧18

题型1 求函数定义域18

题型2　判别函数的等价性19

题型3　利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求解f（x）的表达式20

题型4 函数奇偶性的判别20

题型5 求解给定函数的周期或周期性证明22

题型6　函数f（x）在某区间上单调性的判别22

题型7 函数有界性的判别22

题型8　求反函数23

题型9　求复合函数24

题型10　求抽象复合函数的定义域27

题型11 求数列极限27

题型12　求分式函数的极限29

题型13　利用变量代换求极限30

题型14　利用等价无穷小代换求极限31

题型15 关于需讨论双侧极限的情形34

题型16 关于第二个重要极限的应用36

题型17　求分段函数的极限38

题型18　极限式中常数的确定39

题型19 关于无穷小量的比较42

题型20　关于连续性的讨论43

题型21 求函数的间断点48

§1.4　考研真题精选50

附总习题一58

总习题一答案解析60

第二章　导数与微分66

§2.1 学习要求66

§2.2　重要概念、定理及公式66

§2.3　典型题型的解题方法及技巧70

题型1　利用导数定义求极限70

题型2　利用导数定义求函数在某点处的导数72

题型3　利用导数定义解函数方程75

题型4　求复合函数的导数76

题型5　求隐函数的导数78

题型7　求分段函数的导数79

题型6　求幂指函数的导数79

题型8　求高阶导数82

题型9 函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法86

§2.4　考研真题精选87

附总习题二92

总习题二答案解析94

第三章　微分中值定理与导数的应用99

§3.1 学习要求99

§3.2　重要概念、定理及公式99

§3.3　典型题型的解题方法及技巧106

题型1 验证中值定理的正确性106

题型2　欲证结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=0108

题型3　欲证结论：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(n)(ξ)=k(k≠0)或由a,b,f(a),f(b),ξ,f(ξ),f′(ξ),…,f(n)（ξ）所构成的代数式111

题型4 欲证结论：在（a,b）内至少存在ξ,η（ξ≠η）满足某种关系式114

题型5 利用导数判别函数单调性的方法证明不等式116

题型6　利用微分中值定理证明不等式117

题型7　利用洛必达法则给几类未定式定值119

题型8 求函数的极值与最值122

题型9　讨论方程的根124

题型10　判别函数图形在区间Ⅰ上的凹凸性127

题型11 求曲线的渐近线，并判别类型127

题型12　函数作图128

题型13 函数的性质与函数导数的图形130

题型14　应用问题130

§3.4　考研真题精选132

附总习题三142

总习题三答案解析144

§4.2　重要概念、定理及公式152

第四章　不定积分152

§4.1 学习要求152

§4.3　典型题型的解题方法及技巧156

题型1 和原函数有关的不定积分156

题型2　利用凑微分法求不定积分158

题型3 利用变量代换法求不定积分164

题型4　利用分部积分法求不定积分169

题型5　利用恒等变形求不定积分173

题型6　有理函数的不定积分174

题型7　含根式的不定积分的解法179

题型8　三角有理式的不定积分184

题型9　含有反三角函数的不定积分188

题型10　抽象函数的不定积分189

§4.4　考研真题精选190

附总习题四196

总习题四答案解析197

第五章　定积分205

§5.1　学习要求205

§5.2　重要概念、定理及公式205

§5.3　典型题型的解题方法及技巧214

题型1 关于定积分的估值问题214

题型2 定积分的不等式证明问题216

题型3　求变限积分的导数216

题型4　含有变限积分的函数的极限218

题型5　计算定积分219

题型6　奇偶函数的定积分的简化计算220

题型7　分段函数的定积分的计算221

题型8 函数的表达式中含定积分，求函数222

题型9　利用换元法证明定积分等式222

题型10　求无穷限的广义积分223

题型11 求无界函数的广义积分224

题型12　广义积分的判敛225

题型13　求广义积分中的待定常数值226

§5.4　考研真题精选227

附总习题五231

总习题五答案解析233

第六章　定积分的应用241

§6.1　学习要求241

§6.2　重要概念、定理及公式241

题型1 求平面图形的面积244

§6.3　典型题型的解题方法及技巧244

题型2　求旋转体的体积及侧面积245

题型3　求立体体积245

题型4　求平面曲线的弧长246

题型5 求变力沿直线所作的功、引力、液体的静压力246

§6.4　考研真题精选249

附总习题六261

总习题六答案解析261

第七章　空间解析几何与向量代数266

§7.1 学习要求266

§7.2　重要概念、定理及公式266

题型1 向量的代数运算274

§7.3　典型题型的解题方法及技巧274

题型2　求曲面方程275

题型3 求空间曲线在坐标面上的投影方程276

题型4　求平面方程277

题型5　求空间直线方程278

题型6　综合题280

§7.4　考研真题精选281

附总习题七283

总习题七答案解析285

第一学期　期末测试试卷（一）292

第一学期　期末测试试卷（二）294

测试试卷答案296

§8.2　重要概念、定理及公式301

§8.1 学习要求301

下篇301

第八章 多元函数微元法及其应用301

§8.3　典型题型的解题方法及技巧313

题型1 有关二元函数定义域、极限、连续的计算题313

题型2　考查二元函数极限、连续、偏导、可微之间的关系的题型314

题型3 简单显函数偏导数的计算315

题型4 多元复合函数偏导数的计算316

题型5　抽象的复合函数偏导数的计算317

题型6　二元复合函数高阶偏导数的计算319

题型7 隐函数偏导数的计算321

题型8 多元函数全微分的计算323

题型9 多元函数的极值与最值324

题型10　求曲线的切线及法平面方程326

题型12 求函数在某点沿某方向的方向导数327

题型11 求曲面的切平面及法线方程327

题型13　求函数在一点的梯度328

题型14　有关多元微分学的证明题328

§8.4　考研真题精选329

附总习题八338

总习题八答案解析340

第九章　重积分347

§9.1 学习要求347

§9.2　重要概念、定理及公式347

§9.3　典型题型的解题方法及技巧355

题型1 有关二重积分概念及性质的命题355

题型2　二重积分的计算356

题型3　更换二重积分的积分次序362

题型4　三重积分的计算363

题型5　更换三重积分的积分次序367

题型6　有关二重积分（或二次积分）的证明题367

题型7 重积分的应用（求曲面面积、质心、转动惯量、引力等）369

§9.4　考研真题精选372

附总习题九377

总习题九答案解析378

第十章　曲线积分与曲面积分386

§10.1 学习要求386

§10.2　重要概念、定理及公式386

§10.3　典型题型的解题方法及技巧393

题型1 求对弧长的曲线积分393

题型2　求对坐标的曲线积分395

题型3　求对面积的曲面积分403

题型4　求对坐标的曲面积分405

题型5 求向量场的散度及旋度411

§10.4　考研真题精选416

附总习题十436

总习题十答案解析438

第十一章　无穷级数447

§11.1 学习要求447

§11.2　重要概念、定理及公式447

§11.3　典型题型的解题方法及技巧462

题型1 有关级数概念及性质的命题462

题型2　正项级数敛散性的判别463

题型3　任意项级数敛散性的判别466

题型4　有关数项级数敛散性的证明470

题型5 求函数项级数的收敛域，求幂级数的收敛域和收敛半径472

题型6　求函数的幂级数展开式476

题型7　级数求和479

题型8 函数的傅里叶级数在某点的收敛性的判别483

题型9　将函数展开为傅里叶级数483

§11.4　考研真题精选487

附总习题十一499

总习题十一答案解析501

第十二章　微分方程512

§12.1 学习要求512

§12.2　重要概念、定理及公式512

§12.3　典型题型的解题方法及技巧516

题型1 可分离变量的微分方程求解516

题型2　一阶齐次微分方程求解517

题型3　一阶可化为齐次的微分方程求解518

题型4 贝努里方程求解521

题型5　全微分方程求解522

题型6　可降阶的高阶方程求解523

题型7 求二阶非齐次常系数线性微分方程的通解524

题型8　欧拉方程求解528

题型9　微分方程的应用530

§12.4　考研真题精选533

附总习题十二542

总习题十二答案解析544

第二学期　期末测试试卷（一）560

第二学期　期末测试试卷（二）562

测试试卷答案564