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第1章　集合论1

1.1　集合的概念与运算2

1.1.1　集合的概念和表示法2

1.1.2　集合论的公理系统2

1.1.3　集合相等与包含3

1.1.4　空集与基础集3

1.1.5　无限集与幂集3

1.1.6　集合的并集4

1.1.7　集合的交集4

1.1.8　集合的补集5

1.1.9　集合的对称差集5

1.2　关系的概念6

1.2.1　笛卡儿积6

1.2.2　关系7

1.2.3　恒同关系8

1.2.4　关系图与关系矩阵8

1.3　关系的性质与运算9

1.3.1　关系的性质9

1.3.2　关系的运算12

1.3.3　复合关系12

1.3.4　逆关系13

1.3.5　关系的相关运算14

1.4　关系的闭包16

1.4.1　闭包的概念16

1.4.2　闭包的计算16

1.4.3　传递闭包的Warshall计算方法18

1.5　等价关系21

1.5.1　集合的覆盖与划分21

1.5.2　等价关系21

1.5.3　相容关系22

1.6　序关系24

1.6.1　偏序关系24

1.6.2　盖住关系24

1.6.3　哈斯图24

1.6.4　最（极）大（小）元25

1.6.5　上（下）（确）界26

1.6.6　全序集与良序集26

1.7　函数27

1.7.1　函数的概念27

1.7.2　特殊的函数28

1.7.3　逆函数29

1.7.4　复合函数30

1.8　基数31

1.8.1　基数的概念31

1.8.2　可数集32

集合论习题33

第2章　数理逻辑37

2.1　命题与联结词37

2.1.1　命题的概念38

2.1.2　命题符号38

2.1.3　复合命题39

2.1.4　常用的五个命题联结词39

2.2　命题公式与真值表43

2.2.1　命题变元43

2.2.2　命题公式43

2.2.3　真值表44

2.3　等价及等价公式46

2.3.1　等价或逻辑相等46

2.3.2　等价公式表46

2.4　重言式与蕴含式48

2.4.1　重言式48

2.4.2　蕴含48

2.4.3　蕴含式的证明方法49

2.4.4　蕴含公式表50

2.4.5　其他联结词50

2.5　范式51

2.5.1　合取范式与析取范式51

2.5.2　小项与主析取范式53

2.5.3　大项与主合取范式55

2.5.4　用真值表表示主范式58

2.6　推理理论59

2.6.1　推理规则59

2.6.2　直接证法60

2.6.3　反证法61

2.6.4　CP规则法61

2.7　谓词与谓词公式62

2.7.1　谓词的概念62

2.7.2　命题函数与论域63

2.7.3　量词64

2.7.4　谓词公式65

2.8　谓词演算66

2.8.1　谓词公式的等价式和蕴含式66

2.8.2　前束范式69

2.8.3　谓词公式演算的推理理论70

数理逻辑习题72

第3章　代数系统76

3.1　代数运算及性质76

3.1.1　代数运算的概念76

3.1.2　二元运算的性质76

3.1.3　单位元、零元、逆元78

3.2　代数系统与半群80

3.2.1　代数系统80

3.2.2　半群80

3.3　群82

3.3.1　群的概念82

3.3.2　子群84

3.4　置换群86

3.4.1　置换86

3.4.2　置换群88

3.4.3　循环置换与对换88

3.5　交换群与循环群91

3.5.1　交换群91

3.5.2　循环群91

3.6　陪集与拉格朗日定理93

3.6.1　陪集93

3.6.2　拉格朗日定理95

3.7　环与域96

3.7.1　环96

3.7.2　域97

3.8　格99

3.8.1　格99

3.8.2　分配格103

3.8.3　有界格103

3.8.4　有补格104

3.8.5　布尔代数105

代数系统习题105

第4章　图论107

4.1　图的概念107

4.1.1　图的概念107

4.1.2　结点的度数110

4.2　路与回路112

4.2.1　通路与回路112

4.2.2　连通性与割点113

4.2.3　有向图的连通性116

4.3　图与矩阵117

4.3.1　图的矩阵117

4.3.2　可达性矩阵118

4.4　欧拉图119

4.4.1　欧拉通路与欧拉回路119

4.4.2　欧拉图的判定120

4.4.3　中国邮递员问题120

4.5　哈密尔顿图124

4.5.1　哈密尔顿图124

4.5.2　哈密尔顿路124

4.5.3　旅行商问题126

4.6　平面图128

4.6.1　平面图的概念128

4.6.2　平面图的区域128

4.6.3　欧拉定理129

4.6.4　四色定理132

4.7　两步图133

4.7.1　两步图133

4.7.2　匹配136

4.8　树136

4.8.1　树的概念137

4.8.2　生成树138

4.9　有向树140

4.9.1　外向树140

4.9.2　二元树141

4.9.3　最优树143

图论习题145

附录148

模拟试题（一）148

模拟试题（二）150

硕士研究生入学考试试题（一）152

硕士研究生入学考试试题（二）154

《离散数学》教学大纲（72学时）155

《离散数学》教学大纲（48学时）159

参考文献162