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第一章 向量1

第一节 空间点的定义1

第二节 定位向量9

第三节 数量积12

第四节 向量的模16

第五节 参数曲线27

第六节 平面31

第七节 叉积38

第二章 向量的微分法43

第一节 导数43

第二节 弧长55

第一节 图形及水平曲线58

第三章 多变量函数58

第二节 偏导数63

第三节 可微性和梯度70

第四节 高阶偏导数75

第四章 链式法则和梯度81

第一节 链式法则81

第二节 切平面86

第三节 方向导数92

第四节 仅依赖于离原点距离的函数97

第五节 求偏导数更进一步的技巧106

第五章 势函数113

第一节 守恒定律113

第二节 势函数116

第三节 势函数的局部存在性120

第四节 一个重要的特殊向量场126

第五节 在积分号下求导130

第六节 局部存在定理的证明133

第六章 曲线积分137

第一节 曲线积分的定义和计算137

第二节 相反路径146

第三节 具有势函数的向量场的曲线积分149

第四节 积分对路径的依赖关系158

第七章 二重积分162

第一节 二重积分162

第二节 累次积分169

第三节 极坐标180

第一节 标准形式191

第八章 格林定理191

第二节 向量场的散度和旋度201

第九章 三重积分210

第一节 三重积分210

第二节 柱坐标和球坐标214

第三节 重心227

第十章 曲面积分231

第一节 参数式，切平面和法向量231

第二节 曲面面积237

第三节 曲面积分244

第四节 向量场的旋度和散度252

第五节 三维空间中的散度定理255

第六节 斯托克斯定理264

第十一章 最大值和最小值272

第一节 驻点272

第二节 边界点275

第三节 拉格朗奇乘数280

第十二章 高阶导数288

第一节 泰勒公式的前两项288

第二节 在驻点的二次项292

第三节 二次型的代数研究298

第四节 偏微分算子303

第五节 泰勒公式的一般式311

第十三章 矩阵316

第一节 矩阵316

第二节 矩阵的乘法320

第十四章 线性映射328

第一节 映射328

第二节 线性映射335

第三节 几何应用341

第四节 合成映射与逆映射347

第十五章 行列式354

第一节 二阶行列式354

第二节 三阶行列式358

第三节 行列式的加法性质362

第四节 向量的无关性370

第五节 乘积的行列式371

第六节 矩阵的逆372

第一节 雅可比矩阵375

第十六章 多变量函数的应用375

第二节 可微性379

第三节 链式法则381

第四节 逆映射383

第五节 隐函数387

第六节 海赛矩阵391

第十七章 变量替换公式394

第一节 作为面积和体积的行列式394

第二节 扩大402

第三节 二维空间中的变量变换公式407

第四节 格林公式在变量替换公式中的应用413

第五节 三维空间中的变量变换公式416

第六节 在球面上的向量场420

附录1 傅立叶级数424

第一节 一般数量积424

第二节 傅立叶级数的计算431

附录2 级数441

第一节 收敛级数441

第二节 正项级数444

第三节 比值检验法449

第四节 积分检验法451

第五节 绝对的和交错的收敛性454

第六节 幂级救455

第七节 幂级数的微分和积分462

练习答案467