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第1章 线性空间与线性算子1

1.1 集合及其运算1

一、集合的概念1

二、集合的包含关系与子集3

三、集合的交、并、差运算4

四、集合的直积6

五、n个集合的交、并及直积7

1.2 映射及其性质8

一、映射的概念8

二、几种重要的映射9

三、逆映射与复合映射10

四、可数集及其性质11

五、任意多个集合的交、并运算14

六、数域，实数集的确界，重要不等式15

1.3 线性空间18

一、线性空间的概念18

二、线性空间的子空间22

1.4 线性空间的基与维数24

一、集合的线性相关性25

二、基与维数26

三、元素在基下的坐标27

1.5 线性算子29

一、线性算子及其性质29

二、线性算子的零空间31

三、线性算子的运算31

四、线性算子的矩阵32

习题135

A35

B36

第2章 矩阵的相似标准形38

2.1 方阵的特征值与特征向量38

一、特征值与特征向量的概念38

二、有关特征值与特征向量的重要结论41

2.2 相似矩阵42

一、相似矩阵及其性质42

二、方阵的相似对角形44

2.3 多项式矩阵及其Smith标准形46

一、多项式的有关概念46

二、多项式矩阵48

三、多项式矩阵的初等变换51

四、多项式矩阵的Smith标准形53

2.4 多项式矩阵的不变因子与初等因子57

一、多项式矩阵的行列式因子与不变因子57

二、多项式矩阵的初等因子62

三、多项式矩阵等价的充要条件65

2.5 矩阵的Jordan标准形和有理标准形66

一、方阵相似的充要条件66

二、方阵的Jordan标准形67

三、方阵的有理标准形73

2.6 方阵的零化多项式与最小多项式78

一、方阵的零化多项式78

二、方阵的最小多项式79

三、最小多项式的应用82

习题283

A83

B86

第3章 赋范空间89

3.1 赋范空间的概念89

一、赋范空间定义及常见的赋范空间89

二、由范数导出的度量93

三、等价范数95

四、赋范空间的子空间96

3.2 收敛序列与连续映射97

一、序列的收敛性97

二、赋范空间中的无穷级数100

三、映射的连续性101

3.3 赋范空间的完备性103

一、Cauchy序列及其性质103

二、Banach空间106

三、几个重要的结论107

3.4 有界线性算子108

一、线性算子的有界性概念108

二、有界线性算子的范数109

三、线性算子的有界性与连续性的关系112

四、有界线性算子空间113

五、有界线性算子范数的次乘性114

3.5 方阵范数与方阵的谱半径116

一、方阵范数的概念116

二、方阵的谱半径119

三、方阵的三种算子范数122

习题3124

A124

B128

第4章 矩阵分析130

4.1 向量和矩阵的微分与积分130

一、单元函数矩阵的微分130

二、单元函数矩阵的积分132

三、多元向量值函数的导数133

4.2 方阵序列与方阵级数收敛的充要条件135

一、方阵序列收敛的充要条件及性质135

二、方阵级数收敛的充要条件及性质137

4.3 方阵幂级数与方阵函数139

一、方阵幂级数139

二、方阵函数143

4.4 方阵函数值的计算147

一、根据A的Jordan标准形求f（A）147

二、将f（A）表示为A的多项式152

三、谱映射定理155

4.5 方阵函数的一个应用156

一、一阶线性常系数微分方程组的矩阵表示156

二、一阶线性常系数微分方程组初值问题的解157

习题4161

A161

B162

第5章 内积空间与Hermite矩阵164

5.1 内积空间164

一、内积空间的概念164

二、内积的性质167

三、由内积导出的范数168

四、内积空间的子空间171

5.2 正交与正交系172

一、正交及其性质172

二、正交系、标准正交系及其性质173

三、正交化方法176

5.3 正规矩阵及其酉对角化180

一、正规矩阵的概念180

二、酉矩阵的充要条件及其性质181

三、正规矩阵的充要条件184

5.4 正定矩阵185

一、Hermite矩阵的性质185

二、Hermite矩阵的分类189

三、正定矩阵的充要条件及其性质189

习题5192

A192

B194

第6章 线性方程组的解法196

6.1 线性方程组的性态、严格对角占优矩阵196

一、线性方程组的性态196

二、矩阵的条件数198

三、严格对角占优矩阵及其性质202

6.2 解线性方程组的Gauss消去法205

一、顺序Gauss消去法205

二、列主元素Gauss消去法209

三、解三对角方程组的追赶法211

6.3 解线性方程组的迭代法217

一、迭代法的基本思想及有关概念217

二、简单迭代格式及其收敛性判别218

三、Jacobi迭代法221

四、Gauss-Seidel迭代法227

五、解线性方程组迭代法小结232

习题6232

A232

B234

第7章 插值法与数值逼近236

7.1 插值法概述236

一、插值问题236

二、多项式插值237

三、带导数的插值公式、分段插值与样条插值简介240

7.2 Lagrange插值243

一、Lagrange插值公式243

二、Lagrange插值的误差估计247

7.3 Newton插值251

一、Newton插值多项式251

二、差商及其性质253

7.4 Hermite插值256

一、Hermite插值公式256

二、Hermite插值余项258

7.5 三次样条插值260

一、三次样条插值函数260

二、三次样条插值函数的构造方法261

三、插值余项及收敛性271

7.6 最佳平方逼近272

一、函数的最佳逼近272

二、用正交多项式作函数的最佳平方逼近276

三、曲线拟合的最小二乘法280

习题7286

A286

B288

第8章 数值积分与数值微分290

8.1 数值求积公式及其代数精度290

一、数值求积公式的一般形式290

二、求积公式的代数精度291

8.2 Newton-Cotes公式——等距节点的插值型求积公式293

一、插值型求积公式及其余项293

二、Newton-Cotes公式295

8.3 复化求积法298

一、复化求积公式298

二、变步长求积公式302

8.4 Romberg算法与Gauss型求积公式305

一、变步长求积公式之间的关系305

二、Romberg算法307

三、Gauss型求积公式简介309

8.5 数值微分简介314

一、插值型求导公式315

二、两点数值微分公式和三点数值微分公式316

习题8319

A319

B320

第9章 常微分方程的数值解法322

9.1 常微分方程数值解法概述322

一、一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性322

二、数值解法的基本概念323

三、数值方法的截断误差与阶329

9.2 Runge-Kutta法330

一、Runge-Kutta法的基本思想330

二、二阶Runge-Kutta格式331

三、四阶Runge-Kutta格式332

9.3 收敛性与稳定性335

一、收敛性336

二、稳定性337

9.4 一阶常微分方程组和高阶常微分方程初值问题的数值解法340

一、一阶常微分方程组初值问题的数值解法340

二、高阶常微分方程初值问题的数值解法344

习题9347

A347

B348

第10章 广义逆矩阵及其应用350

10.1 广义逆矩阵A-350

10.2 矩阵的满秩分解353

一、矩阵满秩分解的概念353

二、矩阵满秩分解的方法354

10.3 矩阵的奇异值分解356

10.4 广义逆矩阵A+361

10.5 有解方程组的通解及最小范数解369

10.6 无解方程组的最小二乘解374

习题10376

A376

B377

参考文献379