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第1章　复数1

1.1　复数1

1.1.1　复数的概念及代数运算1

1.1.2　复数的几何表示，模与辐角2

1.1.3　复数的乘幂与方根6

1.2　复平面上的曲线和区域7

1.2.1　平面点集的一般概念7

1.2.2　曲线和区域8

1.3　复球面与无穷远点10

习题111

第2章　解析函数13

2.1 复变函数13

2.1.1　复变函数的概念13

2.1.2　复变函数的极限与连续14

2.2　解析函数15

2.2.1　复变函数的导数15

2.3　柯西-黎曼方程17

2.2.2　解析函数17

2.4　初等解析函数20

2.4.1 指数函数20

2.4.2　对数函数21

2.4.3　幂函数23

2.4.4　三角函数与双曲函数24

2.4.5　反三角函数与反双曲函数26

习题228

第3章　复变函数的积分30

3.1　复积分的概念30

3.1.1　复积分的概念30

3.1.2　复积分的计算31

3.1.3　复积分的基本性质33

3.2　柯西积分定理34

3.2.1　柯西积分定理34

3.2.2　多连通区域的柯西积分定理36

3.3　解析函数的不定积分38

3.4　柯西积分公式39

3.5　解析函数的高阶导数40

3.5.1　解析函数的高阶导数40

3.5.2　柯西不等式和刘维尔定理43

3.6　解析函数与调和函数的关系44

习题346

第4章 级数49

4.1　复数项级数与复变函数项级数49

4.1.1　复数序列与复数项级数49

4.1.2　复变函数项序列与复变函数项级数50

4.2　幂级数51

4.2.1　幂级数的敛散性51

4.2.2　幂级数收敛半径的求法53

4.2.3　幂级数的运算和性质53

4.3　泰勒（Taylor）级数55

4.3.1　解析函数的泰勒展式55

4.3.2　一些初等函数的泰勒展式57

4.4.1　解析函数的零点及唯一性定理60

4.4　解析函数的唯一性定理60

4.4.2　最大模原理61

4.5　罗朗（Laurent）级数62

4.6　解析函数的孤立奇点67

4.6.1　孤立奇点的分类67

4.6.2 函数在孤立奇点的性质68

4.6.3 函数在无穷远点的性质70

习题472

第5章 留数理论及其应用75

5.1 留数及留数定理75

5.1.1 留数的定义及留数定理75

5.1.2　留数的求法76

5.1.3 函数在无穷远点处的留数79

5.2　应用留数计算定积分81

5.2.1　计算？型积分82

5.2.2　计算？型积分83

5.2.3　计算？型积分（其中α>0）84

5.2.4　积分路径上有奇点的积分86

5.2.5　一些其他类型的积分88

5.3 辐角原理和儒歇（Rouché）定理90

5.3.1　对数留数定理90

5.3.2　辐角原理91

5.3.3　儒歇定理93

习题594

第6章　保形映射96

6.1　保形映射的概念和性质96

6.1.1　导数的几何意义96

6.1.2　保形映射的概念98

6.1.3 解析映射的保域性99

6.2　分式线性映射100

6.2.1　分式线性映射的分解100

6.2.2　分式线性映射的保角性102

6.2.3　分式线性映射的保圆性103

6.2.5　分式线性映射的保交比性104

6.2.4　分式线性映射的保对称点性104

6.2.6　二个重要的分式线性映射105

6.3　几个初等函数的映射107

6.3.1　幂函数与根式函数107

6.3.2　指数函数与对数函数108

6.3.3　儒可夫斯基函数109

6.3.4　复合映射举例111

6.4　保形映射的基本定理115

6.5　施瓦兹-克里斯托菲公式116

习题6121

第7章　傅里叶变换124

7.1　傅氏变换的概念124

7.1.1　傅里叶级数124

7.1.2　傅氏变换126

7.2　一些常用函数的傅氏变换129

7.2.1　单位脉冲函数的概念及性质129

7.2.2　δ-函数的傅氏变换131

7.3.1　傅氏变换的基本性质132

7.3　傅氏变换的性质132

7.3.2　卷积与卷积定理137

7.3.3 相关函数138

7.3.4　综合举例及傅氏变换的应用141

习题7144

第8章 拉普拉斯变换147

8.1　拉氏变换的概念147

8.1.1　拉氏变换的定义147

8.1.2　拉氏变换的存在定理148

8.2　拉普拉斯变换的性质150

8.2.1　拉氏变换的基本性质150

8.2.2　卷积与卷积定理155

8.3　拉氏逆变换的计算157

8.4　拉氏变换的应用159

习题8161

第9章 解析函数在平面场的应用165

9.1　用复变函数表示平面场165

9.2.1　流量与环量166

9.2　复变函数在流体力学中的应用166

9.2.2 平面稳定流动的复势及应用168

9.3 复变函数在静电场中的应用171

习题9175

习题答案与提示176

习题1176

习题2176

习题3177

习题4179

习题5181

习题6182

习题7183

习题8184

习题9186

附录187

附录1　傅氏变换简表187

附录2　拉氏变换简表190

参考文献195