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第九章 空间解析几何与矢量运算1

9.1 空间直角坐标系1

1.空间直角坐标系1

9.2 向量及其加、减、数乘运算5

1.向量的概念5

2.向量的加减法6

3.向量与数的乘法7

2.两点间的距离8

1.向量在轴上的投影9

9.3 向量的坐标表示9

2.向量的坐标11

3.模与方向余弦14

9.4 向量的数量积、向量积、混合积16

1.数量积16

2.向量积20

3.混合积24

9.5 平面29

1.平面方程29

2.特殊位置的平面方程31

4.平面的相互位置34

9.6 直线37

1.直线的方程37

3.点到平面的距离39

2.直线与平面间的关系40

3.直线间的关系42

4.距离43

5.交于一直线的平面束46

9.7 曲面与曲线51

1.曲面、曲线的方程51

2.柱面53

3.旋转面55

4.锥面58

5.曲线和曲面的参数方程59

9.8 二次曲面65

1.直角坐标变换65

2.实二次曲面的标准方程68

3.图形70

9.9 向量函数的微分与积分78

1.向量函数及其微分法78

2.向量函数的导数的物理意义和几何意义82

3.向量函数的不定积分与定积分84

第十章 多元函数88

10.1 n 维欧几里德空间 Rn 内点集的一些初步知识88

1.n 维欧几里德空间 Rn88

2.Rn 内点集的一些基本概念90

10.2 多元函数的概念96

1.实例96

2.二元函数97

3.n 元函数的定义100

4.复合函数102

10.3 多元函数的极限104

1.点列的极限104

2.两个基本引理105

3.重极限106

4.方向极限111

6.累次极限114

10.4 多元函数的连续性118

2.性质和运算法则119

3.附注和例子119

1.定义119

4.闭域上连续函数的性质121

第十一章 多元函数微分学124

11.1 偏导数124

1.偏导数124

2.复合函数微分法128

3.曲面的切平面与法线133

11.2 全微分138

1.全微分138

2.全微分的几何意义142

3.全微分在近似计算中的应用143

11.3 方向导数与梯度147

1.方向导数147

2.梯度149

11.4 齐次函数与欧拉定理151

11.5 高阶偏导数154

11.6 二元函数的泰勒公式162

11.7 二元函数的极值167

1.极值的概念167

2.极值的一个判别法169

3.最大值与最小值173

4.最小二乘法176

第十二章 隐函数183

12.1 由一个方程所确定的隐函数183

1.存在性定理183

2.可微性定理187

3.例子189

12.2 由方程组所确定的隐函数194

1.含一个自变量两个未知函数的情形194

2.含 n 个自变量 m 个未知函数的情形203

3.反函数的存在性与可微性205

12.3 条件极值——拉格朗日乘数法210

12.4 雅可比行列式 函数的相关性218

1.雅可比矩阵218

2.雅可比行列式的某些性质220

3.函数的相关性224

第十三章 广义积分与含参变量的积分233

13.1 无穷区间上的积分233

1.收敛与发散的定义233

2.被积函数非负时的敛散性判别法237

13.2 无界函数的积分245

1.收敛与发散的定义245

2.敛散性判别法250

3.一般被积函数的情况250

13.3 含参变量的定积分258

13.4 含参变量的广义积分 一致收敛性269

1.无穷积分一致收敛的定义与 M 判别法269

2.一致收敛的广义积分的性质272

3.计算积分例276

13.5 Γ函数与 B 函数281

1.Γ函数281

2.B 函数283

3.计算积分例286

13.6 斯突林公式292

第十四章 重积分295

14.1 二重积分的概念和性质295

1.引入二重积分的两个典型问题295

2.二重积分的定义与可积函数297

3.二重积分的性质300

14.2 在直角坐标系中二重积分的计算303

1.在极坐标系中二重积分的计算316

14.3 二重积分的换元法316

2.二重积分的换元公式321

14.4 三重积分的概念及计算326

1.三重积分的概念326

2.直角坐标系中三重积分的计算327

14.5 三重积分的换元法332

1.一般换元公式332

2.柱面坐标变换333

3.球面坐标变换335

4.例338

14.6 应用342

1.曲面的面积342

2.质量中心345

3.转动惯量349

第十五章 曲线积分 曲面积分353

15.1 曲线积分的概念及计算353

1.例子353

2.第一型(对弧长的)曲线积分355

3.第二型(对坐标的)曲线积分359

4.两类曲线积分之间的联系364

5.空间曲线积分365

15.2 格林公式370

15.3 平面上曲线积分与路线无关的条件377

15.4 曲面积分的概念及计算385

1.流量问题385

2.第一型(对面积的)曲面积分387

3.第二型(对坐标的)曲面积分391

4.两类曲面积分之间的联系397

15.5 高斯公式399

1.斯托克斯公式408

15.6 斯托克斯公式 空间曲线积分与路线无关的条件408

2.空间曲线积分与路线无关的条件412

15.7 场论初步417

1.数量场与向量场417

2.等值面与梯度418

3.散度419

4.环量与旋度422

5.向量微分算子426

15.8 在正交曲线坐标系中▽U，▽·A，▽×A 和△U 的表示式432

复习题三440

习题答案与提示447