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第1章　科学计算与Matlab1

1.1　科学计算的意义1

1.2　误差基础知识2

1.2.1　误差的来源2

1.2.2　误差度量2

1.2.3　有效数字3

1.2.4 计算机的浮点数系3

1.2.5　一个实例4

1.2.6　数值计算中应注意的几个问题4

1.3　Matlab软件7

1.3.1　简介7

1.3.2　向量和矩阵的基本运算8

1.3.3　流程控制15

1.3.4　脚本文件和函数文件18

1.3.5　帮助系统22

1.3.6 图功能26

1.3.7　数据操作30

习题一33

数值实验一33

第2章　线性方程组的直接解法35

2.1　高斯消去法35

2.2　矩阵的三角分解39

2.2.1　LU分解和LDU分解39

2.2.2　乔列斯基分解42

2.2.3　追赶法44

2.2.4　分块三角分解46

2.3　QR分解和奇异值分解47

2.3.1　正交矩阵47

2.3.2　QR分解50

2.3.3　奇异值分解52

习题二53

数值实验二54

第3章　多项式插值与样条插值56

3.1　多项式插值56

3.1.1 多项式插值问题的定义56

3.1.2　插值多项式的存在唯一性57

3.1.3　插值基函数57

3.2　拉格朗日插值58

3.2.1　拉格朗日插值基函数58

3.2.2　拉格朗日插值多项式58

3.2.3　插值余项60

3.3 牛顿插值62

3.3.1　差商62

3.3.2 牛顿插值公式及其余项64

3.3.3　差分与等距节点的插值公式65

3.4　埃尔米特插值66

3.4.1　两点三次埃尔米特插值66

3.4.2　埃尔米特插值多项式的余项68

3.4.3　n+1个点2n+1次埃尔米特插值多项式H2n+1（x）及其余项R2n+1（x）68

3.5　三次样条插值68

3.5.1　样条插值概念的产生68

3.5.2　三次样条函数70

习题三78

数值实验三79

第4章　函数逼近81

4.1　内积与正交多项式81

4.1.1　权函数和内积81

4.1.2　正交函数系82

4.1.3　勒让德多项式82

4.1.4　切比雪夫多项式84

4.1.5　其他正交多项式85

4.2　最佳一致逼近与切比雪夫展开86

4.2.1　最佳一致逼近多项式86

4.2.2　线性最佳逼近多项式的求法87

4.2.3　切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式88

4.3　最佳平方逼近90

4.3.1　预备知识90

4.3.2　最佳平方逼近90

4.4　曲线拟合的最小二乘法94

4.4.1　最小二乘法94

4.4.2　利用正交多项式作最小二乘拟合97

4.4.3　非线性最小二乘问题99

4.4.4　矛盾方程组102

4.5　周期函数逼近与快速傅里叶变换103

4.5.1　周期函数的最佳平方逼近103

4.5.2　快速傅里叶变换（FFT）105

习题四107

数值实验四108

第5章　数值积分与数值微分109

5.1　引言109

5.2　几个常用积分公式及其复合公式110

5.2.1　几个常用积分公式110

5.2.2　代数精度111

5.2.3　积分公式的复合112

5.3　变步长方法与外推加速技术118

5.3.1　变步长梯形法118

5.3.2　外推加速技术与龙贝格求积方法119

5.4 牛顿-科茨公式121

5.5　高斯公式123

5.5.1　高斯公式的定义及性质123

5.5.2　常用高斯型公式126

5.5.3　高斯型公式的应用132

5.6　多重积分的计算135

5.6.1　二重积分的计算135

5.6.2　蒙特卡罗模拟求积法简介138

5.7　数值微分141

5.7.1　基于拉格朗日插值多项式的求导方法141

5.7.2　基于样条函数的求导方法144

习题五147

数值实验五149

第6章　线性方程组的迭代解法151

6.1　范数和条件数151

6.1.1　向量范数和矩阵范数151

6.1.2　扰动分析和条件数153

6.2　基本迭代法155

6.2.1　雅可比迭代法156

6.2.2　高斯-赛德尔迭代法157

6.2.3　超松弛（SOR）迭代法158

6.2.4　迭代的收敛性分析和误差估计160

6.3　不定常迭代法165

6.3.1　最速下降法165

6.3.2　共轭梯度法168

6.3.3　广义极小残量法172

6.3.4　预处理技术176

习题六178

数值实验六179

第7章　非线性方程求根180

7.1　非线性方程求根的基本问题180

7.2　二分法182

7.3　不动点迭代方法183

7.4　迭代加速186

7.5 牛顿法188

7.6　割线法194

7.7　非线性方程组简介196

7.8　非线性最小二乘问题199

7.9　大范围求解方法201

习题七204

数值实验七205

第8章　矩阵特征值与特征向量的计算206

8.1　前言206

8.2　幂方法208

8.2.1　乘幂法208

8.2.2　反幂法212

8.2.3　结合原点平移的反幂法213

8.3　QR方法214

习题八216

数值实验八217

第9章　常微分方程初边值问题数值解218

9.1　欧拉公式及其改进218

9.1.1　欧拉公式218

9.1.2　数值积分与多步法220

9.1.3　预估校正格式223

9.2　龙格-库塔公式225

9.3　收敛性与稳定性230

9.3.1　单步法的收敛性230

9.3.2　单步法的稳定性232

9.4　微分方程组和刚性问题233

9.5　有限差分法236

习题九239

数值实验九239

参考文献241

索引242

表3-1　一般插值数据表56

表3-2　函数y=ln x数据表59

表3-3　差商表63

表3-4　函数y=ln x的差商表65

表3-5 两点埃尔米特插值数据66

表3-6　给定数据表76

表3-7　例3.5.3的差商表76

表4-1　切比雪夫展开多项式系数89

表4-2　给定的数据表95

表4-3　二次最小二乘拟合数据96

表4-4　多项式拟合数据表98

表4-5　未知函数数据表99

表4-6　函数y=a sin bx拟合数据100

表5-1　函数值表109

表5-2　函数值表115

表5-3　三种不同方法的计算结果116

表5-4　区间折半法的计算结果119

表5-5　龙贝格方法计算结果120

表5-6　科茨系数122

表5-7　勒让德高斯点及高斯系数127

表5-8　部分拉盖尔高斯点及高斯系数129

表5-9　埃尔米特高斯点及高斯系数131

表5-10　函数f（x）数据表143

表7-1　二分法计算结果183

表7-2　x3-x-1=0的四个不同的迭代方法184

表7-3 方程xlnx=1的不同迭代法186

表7-4 加速方法计算效果187

表7-5 艾特肯加速效果188

表7-6 ？的不同近似值191

表7-7 牛顿法和割线法的计算效果195

表7-8　方程组的不同迭代效果比较198

表8-1　乘幂法的计算结果210

表8-2　改进乘幂法的计算结果212

表8-3　反幂法的计算结果213

表8-4　带原点平移的反幂法的计算结果214

表9-1　欧拉法的计算结果220

表9-2　梯形公式的计算结果222

表9-3　改进欧拉法的计算结果224

表9-4　龙格-库塔公式阶数和次数的关系228

表9-5　标准四阶龙格-库塔方法的计算结果229

表9-6　龙格-库塔方法的计算结果235

表9-7　不同N情况下有限差分解的误差238

图1-1　河渠的图形4

图1-2　命令plot演示26

图1-3　命令plot3演示27

图1-4　命令surf演示28

图1-5　命令surf和contour用于二元函数28

图1-6　图像的标注29

图2-1　Givens变换48

图2-2　Householder变换50

图3-1　多项式插值的几何意义57

图3-2　龙格函数及其10阶拉格朗日插值多项式与分段线性多项式69

图4-1　勒让德多项式的图形，n=0,1,2,384

图4-2 切比雪夫多项式的图形，n=0,1,2,3,485

图4-3 最佳一次逼近多项式的几何意义88

图4-4 例4.4.4数据点的分布情况98

图4-5 非线性最小二乘拟合101

图5-1 三种不同方法的收敛速度的比较116

图5-2 被积函数的光滑性与高斯公式收敛速度的关系133

图5-3 节点数与高斯公式的误差的关系134

图5-4 二重积分求积区域135

图5-5 误差RN随节点N的变化规律140

图7-1 函数f(x)=x sin x/x2+1的图像180

图7-2　非线性方程求根的不同困难程度181

图7-3　不同的序列收敛速度182

图7-4　不动点迭代的局部收敛性185

图7-5 牛顿法的几何意义189

图7-6 函数f（x）=x2+sin 10x-1的图像193

图7-7　割线法的几何意义195

图7-8　三个方程同伦算法的解曲线202

图9-1　欧拉法的几何意义219

函数mysort.m18

函数mysort2.m19

函数mysort3.m20

函数zhouchang.m22

函数fib.m22

函数fib.m（带注释）24

函数tridiagsolver.m45

函数lagrange.m59

函数chashang.m63

函数nlfit.m100

函数nlfitb.m101

函数fmid.m113

函数ftrapz.m113

函数fsimpson.m114

函数coeflege.m128

函数gauss_lege.m128

函数gauss_laguerre.m130

函数gauss_her.m131

函数herval.m132

函数jacobi.m156

函数gs.m157

函数sor.m158

函数cg.m170

函数gmres.m174

函数newton.m192

函数homo.m202

函数eigIPower.m211

函数odeEuler.m219

函数odeIEuler.m224

算法2.1.1 高斯消去法36

算法2.2.4　杜利脱尔算法41

算法2.2.5　克洛脱算法41

算法2.2.7　乔列斯基算法43

算法2.2.9　追赶法44

算法5.3.1　区间折半法118

算法6.2.1　雅可比迭代算法156

算法6.2.2　高斯-赛德尔迭代算法157

算法6.2.3　SOR.迭代算法158

算法6.3.2　最速下降法167

算法6.3.6　共轭梯度法169

算法6.3.10　广义极小残量法173

算法6.3.13　左预处理共轭梯度法177

算法7.2.1　二分法183

算法7.5.5 牛顿下山法192

算法7.7.1　非线性方程组的GS方法196

算法7.7.4　拟牛顿法198

算法7.7.6　改进拟牛顿法199

算法7.8.1　高斯-牛顿法200

算法7.8.2　LM算法201

算法8.2.1　原始乘幂法209

算法8.2.3　改进乘幂法211

算法8.2.5　反幂法212

算法8.2.7　带原点平移的反幂法213

算法8.3.1　QR方法214

算法9.1.1　欧拉方法219

算法9.1.3　梯形方法221

算法9.1.7　改进欧拉方法224

算法9.2.1 标准四阶四段龙格-库塔方法229

算法9.5.1　有限差分法237