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第0章 整数的整除与同余1

0.1整除及带余除法1

0.1.1整数1

0.1.2整除的概念与性质2

0.1.3带余除法3

0.1.4整数的进制表示法4

0.1.5数学归纳法7

0.2整数分解8

0.2.1最大公因数及其性质8

0.2.2欧几里得算法10

0.2.3因式分解法11

0.3同余15

0.3.1同余的概念和性质15

0.3.2线性同余方程18

0.3.3中国剩余定理20

0.3.4威尔逊定理、欧拉定理与费马小定理22

习题25

第1篇 集合论27

第1章 集合及其运算29

1.1集合的基本概念29

1.1.1集合和元素29

1.1.2集合的表示方法30

1.1.3集合的基数31

1.2集合间的关系31

1.2.1集合的包含31

1.2.2集合的相等32

1.2.3维恩图32

1.2.4幂集33

1.2.5有限集合幂集元素的编码表示34

1.3集合的运算和运算定律34

1.3.1集合的运算34

1.3.2集合运算的定律35

1.3.3集合恒等式的证明方法37

1.3.4包含排斥原理39

1.4集合成员表40

1.4.1并、交和补集的成员表40

1.4.2有限个集合产生的集合的成员表40

1.4.3利用集合成员表证明集合恒等式41

1.5集合的覆盖与分划42

1.6集合的标准形式43

1.6.1最小集标准形式43

1.6.2最大集标准形式46

1.6.3集合范式的说明47

1.7多重集合49

习题49

第2章 关系54

2.1笛卡儿积与关系54

2.1.1笛卡儿积54

2.1.2关系的基本概念56

2.2关系的表示方法57

2.2.1集合表示法57

2.2.2矩阵表示法58

2.2.3关系图表示法58

2.3关系的运算59

2.3.1关系的并、交、差、补运算59

2.3.2关系的逆运算60

2.3.3关系的复合运算61

2.4关系的性质66

2.4.1关系性质的定义66

2.4.2关系性质的判别67

2.5关系的闭包70

2.5.1关系闭包的定义70

2.5.2关系闭包的性质72

2.5.3关系闭包的求法74

2.6等价关系77

2.6.1等价关系的基本概念77

2.6.2等价类的性质78

2.6.3等价关系与分划79

2.6.4等价关系的其他性质80

2.7相容关系81

2.7.1相容关系的基本概念81

2.7.2相容关系与覆盖82

2.8偏序关系84

2.8.1偏序关系的基本概念84

2.8.2偏序关系的次序图84

2.8.3偏序集的特殊元素85

2.8.4全序和良序87

习题88

第3章 函数95

3.1函数及性质95

3.1.1函数的基本概念95

3.1.2函数的性质97

3.2复合函数99

3.2.1复合函数的定义99

3.2.2函数复合运算的性质100

3.2.3复合函数的性质101

3.3逆函数103

3.3.1逆函数的定义103

3.3.2逆函数的性质104

3.3.3左、右逆函数105

3.4无限集的基数106

3.4.1抽屉原理106

3.4.2集合的等势107

3.4.3可数集的基数108

3.4.4不可数集的基数111

3.4.5集合基数的比较112

习题114

第2篇 抽象代数119

第4章 代数系统121

4.1代数运算121

4.1.1代数运算的概念121

4.1.2二元运算的性质123

4.1.3特殊元素124

4.2代数系统与子代数128

4.2.1代数系统的概念128

4.2.2子代数的概念129

4.3代数系统的同态与同构130

4.3.1代数系统的同态130

4.3.2满同态的性质132

4.3.3同构的性质132

4.4代数系统的积代数134

习题135

第5章 群、环和域139

5.1半群和独异点139

5.1.1半群和独异点的基本概念139

5.1.2子半群和子独异点142

5.1.3半群和独异点的同态143

5.2群143

5.2.1群的基本概念143

5.2.2群的基本性质146

5.2.3群的同态148

5.3置换群与循环群148

5.4子群及其陪集152

5.4.1子群的定义152

5.4.2子群的判别153

5.4.3陪集与正规子群155

5.4.4拉格朗日定理158

5.5环和域160

5.5.1环160

5.5.2整环162

5.5.3域163

5.5.4环和域的同态165

习题166

第6章 格和布尔代数170

6.1格及其性质170

6.1.1格的偏序集定义170

6.1.2格的性质171

6.1.3格的代数系统定义174

6.1.4子格175

6.1.5格的同态176

6.2分配格和有补格177

6.2.1分配格177

6.2.2有补格179

6.2.3有补分配格181

6.3布尔代数182

6.3.1布尔代数的基本概念182

6.3.2布尔代数的性质184

习题186

第3篇 图论191

第7章 图与树195

7.1图的基本概念195

7.1.1图及其图解表示195

7.1.2完全图与补图197

7.1.3结点的度与握手定理198

7.1.4图的连通性199

7.1.5图的同构202

7.1.6子图与分图204

7.1.7图的运算207

7.2图的矩阵表示208

7.2.1图的关联矩阵208

7.2.2图的邻接矩阵209

7.2.3图的连接矩阵211

7.3树213

7.3.1树的基本概念213

7.3.2树的基本性质213

7.3.3最小生成树215

7.4有向树219

7.4.1有向树的基本概念219

7.4.2二元树及其周游221

7.4.3有向树中的一些数量关系222

习题223

第8章 特殊图229

8.1欧拉图229

8.1.1欧拉图的基本概念229

8.1.2欧拉图的判别230

8.1.3中国邮路问题232

8.2哈密顿图233

8.2.1哈密顿图的基本概念233

8.2.2哈密顿图的判别233

8.2.3流动售货员问题235

8.3二部图237

8.3.1二部图的基本概念237

8.3.2二部图的判别238

8.3.3匹配问题239

8.4平面图240

8.4.1平面图的基本概念240

8.4.2平面图的判别242

8.4.3地图着色问题246

习题248

第4篇 数理逻辑253

第9章 命题逻辑257

9.1命题的基本概念257

9.2命题联结词258

9.3命题公式的基本概念262

9.4命题公式的等值关系和蕴含关系266

9.4.1命题公式的等值关系266

9.4.2基本的等值式266

9.4.3等值式的判定267

9.4.4命题公式的蕴含关系271

9.4.5基本的蕴含式271

9.4.6蕴含式的判定272

9.4.7命题公式的对偶274

9.5命题公式的范式275

9.5.1析取范式和合取范式275

9.5.2主析取范式和主合取范式277

9.6命题演算的推理理论281

9.6.1推理的概念281

9.6.2推理的方法281

习题285

第10章 谓词逻辑293

10.1个体、谓词和量词293

10.2谓词公式的基本概念297

10.3谓词公式的等值关系与蕴含关系300

10.3.1谓词公式的类型300

10.3.2谓词公式间的等值与蕴含关系301

10.3.3谓词公式的对偶305

10.4谓词公式的范式305

10.4.1前束范式305

10.4.2前束合取范式与前束析取范式306

10.4.3斯柯林范式308

10.5谓词演算的推理理论309

10.5.1推理规则310

10.5.2推理规则的应用311

习题314

参考文献319