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目录1

第1章 函数1

1.1 函数概念1

1 1 1　集合1

1 1 2　映射 函数5

1 1 3　函数的表示 分段函数7

练习1～812

1.2　函数的几个特性13

1 2 1　有界性13

1 2 3　奇偶性14

1 2 2　单调性14

1 2 4　周期性15

练习9～1216

1.3　复合函数 反函数16

1 3 1　复合函数16

1 3 2　反函数19

练习13～1821

1.4　初等函数21

1 4 1　基本初等函数21

1 4 2　初等函数概念24

1 4 3　双曲函数与反双曲函数25

1.5 改变量26

1 5 1　概念与记号26

练习19～2026

1 5 2　常量与变量29

练习21～2330

1.6 建立函数关系的例31

1 6 1　举例31

1 6 2　经济中的几个常用函数33

练习24～2534

习题134

第2章　极限38

2.1　数列极限38

2 1 1　数列 子数列38

2 1 2　数列极限的概念40

2.1 3　收敛数列42

2 1 4　极限运算法则45

练习1～850

2.2　函数极限51

2 2 1　函数极限概念51

2 2 2　无穷小 无穷大61

2.2 3　函数极限的性质64

两个重要极限64

2 2 4　无穷小的比较 符号“0”、“～”、“O”73

练习9～2477

2.3　连续函数79

2 3 1　函数的连续性79

2 3 2　函数的间断点83

2 3 3　闭区间上连续函数的性质86

练习25～3290

习题290

第3章　导数与微分93

3.1　导数的概念93

3 1 1　两个等价问题93

3 1 2　可微函数96

3 1 3　导数的意义100

练习1～7105

3.2　微分法106

3 2 1　四则运算法则106

3 2 2　链式法则对数微分法108

3 2 3　隐函数微分法113

3 2 4　反函数微分法115

3 2 5　由参数方程表示函数的微分法117

3 2 6　微分法小结120

练习8～18121

3.3 高阶导数123

3 3 1　二阶导数123

3 3.2　高于二阶的高阶导数126

练习19～22127

3.4　微分128

3 4 1　线性主部线性近似128

3 4.2　微分微分形式不变性131

练习23～31135

习题3136

第4章　微分中值定理与导数的应用140

4.1 中值定理140

4 1 1　极值点的必要条件140

4.1 2　中值定理143

练习1～14148

4.2　泰勒公式150

4 2.1　泰勒多项式150

4 2 2　泰勒公式152

练习15～24158

4.3　利用导数研究函数159

4 3 1　函数为常数的条件159

4 3 2　单调性161

4 3 3　局部极小和极大163

4.3 4　凸性169

4.3 5　洛必达法则173

4 3 6　函数图形的描绘185

练习25～55191

4.4　微分学应用的另一些例194

4 4 1　最大值、最小值问题194

4 4 2　变化率问题201

4 4 3　列微分方程205

4 4 4　近似计算209

4 4 5　平面曲线的曲率214

练习56～88219

习题4222

5.1　定积分概念227

5 1 1　两个等价问题227

第5章　积分227

5 1 2　定积分概念229

5 1 3　基本性质几何意义231

练习1～17235

5.2　微积分基本定理237

5 2 1　变上限定积分237

5.2 2　原函数不定积分243

5.2.3　牛顿-莱布尼茨公式248

练习18～39251

5 3 1　凑微分法253

5.3　基本积分法253

5 3 2　换元积分法262

5 3 3　分部积分法265

5.3 4　几类特定函数的积分法269

练习40～53277

5.4　定积分计算法280

5 4 1　定积分的基本积分法280

5 4 2　定积分的近似计算法287

练习54～64295

5.5　反常积分297

5 5 1　无穷区间上的反常积分297

5 5 2　无界函数的反常积分300

练习65～69302

习题5303

第6章　定积分应用310

6.1 几何应用310

6 1 1　平面图形的面积310

6.1 2　平面曲线的弧长316

6 1 3　体积318

6 1 4　旋转体的侧面积324

练习1～14326

6.2　物理应用326

6 2 1　功326

6 2 2　侧压力330

6.2 3　一阶矩重心331

6.2.4　动能转动惯量333

练习15～30335

6.3　其他应用337

6 3 1　函数平均值的概念337

6 3 2　均方根339

6 3 3　在经济中的应用340

练习31～39343

习题6344

第7章　微分方程346

7.1　基本概念346

7 1 1　定义346

7 1 2　建立微分方程举例348

练习1～9350

7.2　一阶方程351

7 2 1　可分离变量的方程351

7 2 2　线性方程354

7 2 3　齐次型方程伯努利方程359

练习10～22361

7.3　可降阶的高阶方程363

7 3 1　形如y（n）=f（x）的方程363

7 3 2　不显含因变量的方程363

7 3 3　不显含自变量的方程365

练习23～27367

7 4 1　二阶线性方程及其解的结构368

7.4　线性微分方程368

7 4 2　二阶线性常系数方程372

7 4 3　欧拉方程及高于二阶的方程380

练习28～42385

7.5　微分方程近似解法简介387

7 5 1　数值解：龙格-库塔型解法387

7 5 2　近似解析解：迭代法390

练习43～45392

7.6　几个实例393

7 6 1　中间贮槽的容积393

7 6 2　间壁式换热器的温差方程394

7 6 3　放射性废物的处理396

7 6 4　弹性横梁的振动397

7.6.5　桥墩形状问题399

习题7400

第8章　无穷级数402

8.1　数项级数402

8 1 1　无穷级数402

8 1 2　正项级数407

8 1 3　绝对收敛级数414

8 1 4　交错级数417

8 1 5　数项级数小结421

练习1～22424

8.2　幂级数428

8 2 1　引言428

8 2 2　收敛半径430

8 2 3　微分、积分、连续性434

练习23～35438

8.3　幂级数（续）：函数的幂级数展开与应用440

8 3 1　泰勒级数440

8 3 2　数项级数的求和446

8 3 3　其他应用448

练习36～46452

习题8454

练习与习题答案456

附录1　差分、差分方程487

附录2　二阶与三阶行列式494

参考书目498