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第1章 距离空间1

1.1距离空间的定义及例1

1.2序列极限4

1.3开集、闭集与连续映射5

1.4完备性、稠密、可分及列紧性8

1.4.1距离空间的完备性8

1.4.2距离空间的稠密、可分及列紧性10

1.5拓扑空间基本概念12

1.6压缩映射原理及其应用14

1.6.1压缩映射及不动点14

1.6.2巴拿赫压缩映射定理16

1.6.3应用18

1.7附录22

第2章 线性赋范空间28

2.1线性空间的定义及例28

2.2空间的基及维数30

2.3线性空间的同构32

2.4子空间、线性流形及凸集33

2.5线性赋范空间36

2.6距离空间与赋范空间39

2.6.1距离与范数的差异40

2.6.2巴拿赫空间41

2.6.3巴拿赫空间的级数42

2.6.4乘积空间42

2.7线性赋范空间的基本性质42

2.8有限维线性赋范空间43

第3章 内积空间47

3.1内积空间47

3.2希尔伯特空间51

3.3正交分解和投影定理52

3.4傅里叶级数61

3.4.1希尔伯特空间的正交基和正交化方法61

3.4.2傅里叶级数展开62

3.5正交补65

3.6最小范数问题66

3.7索波列夫空间67

3.7.1空间H1[a，b]67

3.7.2空间H1（G）和空间H10（G）68

3.7.3嵌入定理69

第4章 有界线性算子72

4.1线性算子的定义72

4.2算子的范数77

4.3投影算子81

4.4有界线性算子空间82

4.5逆算子84

4.6共鸣定理88

第5章 有界线性泛函、共轭空间及线性算子的谱90

5.1泛函的概念及共轭空间90

5.2某些空间的共轭空间91

5.2.1 n维欧氏空间91

5.2.2希尔伯特空间93

5.2.3分布空间94

5.3线性泛函的延拓94

5.4二次共轭空间与弱收敛99

5.5共线与正交101

5.6共轭算子102

5.6.1共轭算子的概念102

5.6.2自共轭算子及双线性型104

5.6.3值域和零空间的关系108

5.7线性算子的谱分析112

5.7.1谱的基本概念112

5.7.2恒等算子的分解113

5.7.3谱的某些性质115

5.7.4紧算子、正规和自共轭算子谱性质118

5.7.5无界算子的谱分析121

第6章 泛函的极值及算子方程的弱形式123

6.1算子的微分123

6.1.1伽脱微分123

6.1.2弗里奇微分125

6.1.3有限增量公式和平均值定理127

6.1.4泰勒公式128

6.2最优问题130

6.2.1极值点的必要条件——欧拉方程130

6.2.2自然边界条件135

6.2.3极值点的充分条件138

6.2.4具有等式约束的极值问题139

6.2.5罚函数法148

6.2.6具有不等式约束的极值问题151

6.3算子方程的弱形式154

6.3.1有势算子154

6.3.2泊松方程的弱形式156

6.3.3弹性力学基本方程的弱形式157

第7章 算子方程弱形式解的存在和唯一性166

7.1二次泛函的最小值166

7.1.1算子方程和泛函最小值点的等价性166

7.1.2能量空间169

7.2方程中已知量的光滑性条件172

7.3弱形式方程解存在唯一定理173

7.3.1 Friedrich、Poincar6及Korn不等式173

7.3.2 Lax-Milgram定理176

7.4非齐次边界条件182

7.5诺依曼边值问题188

7.5.1可解性条件189

7.5.2高阶方程可解性条件190

7.6具有等式约束的边值问题193

第8章 变分近似方法196

8.1李滋法196

8.1.1方法的表述197

8.1.2收敛和稳定性199

8.1.3应用201

8.2加权余值法216

8.2.1布波诺夫-伽罗金法217

8.2.2最小二乘法223

8.2.3配点法和子域法227

8.3半解析法229

8.3.1康托罗维奇法229

8.3.2楚瑞夫茨法235

8.4与时间有关的问题237

8.4.1引言237

8.4.2抛物型方程239

8.4.3双曲型方程241

8.4.4时间离散方法244

第9章 有限单元法253

9.1有限单元法的一般性质253

9.1.1引言253

9.1.2域的剖分254

9.1.3有限单元插值函数256

9.1.4单元连通性（单元组装）257

9.1.5有限单元解的存在和收敛259

9.2一维二阶微分方程259

9.2.1基本方程259

9.2.2李滋有限单元法260

9.2.3李滋有限单元法的应用268

9.2.4加权余值有限单元法271

9.3一维四阶方程276

9.3.1工程中的四阶常微分方程276

9.3.2李滋法276

9.4与时间有关的一维问题280

9.5有限单元解的误差281

9.5.1引言281

9.5.2收敛误差281

9.5.3解的精度282

9.6二维二阶方程285

9.6.1基本方程285

9.6.2李滋有限单元法286

9.6.3插值函数289

9.6.4解的存在性和误差估计292

9.6.5例子293

9.6.6加权余值有限单元法299

9.7二阶偏微分方程组301

9.7.1平面弹性301

9.7.2二维不可压缩流体303

9.7.3弹性板弯曲306

9.8杂交元和拟协调元311

9.8.1杂交元311

9.8.2拟协调元313

9.8.3半解析有限单元法321

参考文献332