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第1章 度量空间1

1.1 度量空间1

1.1.1 度量的定义1

1.1.2 度量定义中（1），（2）和（3）的相关性1

1.1.3 有关度量的不等式2

1.1.4 平凡度量的定义2

1.1.5 度量不是唯一的4

1.1.6 度量空间的收敛6

1.1.7 度量空间中的球7

1.1.8 度量空间的有界性8

1.1.9 序列空间的度量收敛与坐标收敛的关系9

1.2 度量拓扑10

1.2.1 开集的定义10

1.2.2 开集的性质12

1.2.3 闭集的定义和性质12

1.2.4 拓扑的定义和性质18

1.3 连续算子20

1.3.1 算子连续的定义20

1.3.2 算子连续的刻画20

1.3.3 紧集的定义和性质24

1.3.4 紧集与不动点33

1.4 完备性与不动点定理34

1.4.1 完备的定义35

1.4.2 闭球套定理43

1.4.3 压缩算子的定义45

1.4.4 Banach不动点定理46

1.4.5 Banach不动点定理的应用52

1.5 度量的推广54

第2章 赋范线性空间56

2.1 赋范空间的基本概念56

2.1.1 赋范空间的定义56

2.1.2 赋范空间与度量空间的关系58

2.1.3 依范数收敛60

2.1.4 Banach空间的定义和性质62

2.1.5 Banach空间的子空间65

2.1.6 半范数与商空间66

2.2 范数的等价性与有限维赋范空间68

2.2.1 范数强弱的比较和刻画68

2.2.2 有限维赋范空间的性质69

2.2.3 有限维赋范空间的刻画73

2.2.4 有界集与紧集的关系和刻画77

2.3 Schauder基与可分性80

2.3.1 Schauder基80

2.3.2 赋范空间的可分性83

2.3.3 可分与Schauder基的关系83

2.4 线性连续泛函与Hahn-Banach定理85

2.4.1 线性连续泛函的定义85

2.4.2 线性泛函连续和有界的刻画86

2.4.3 线性连续泛函的范数89

2.4.4 线性连续泛函范数的计算89

2.4.5 Hahn-Banach定理92

2.4.6 Hahn-Banach定理的应用96

2.5 严格凸空间97

2.5.1 严格凸的定义97

2.5.2 严格凸空间的性质99

2.5.3 严格凸性不是拓扑性质103

第3章 有界线性算子105

3.1 有界线性算子105

3.1.1 线性算子的定义105

3.1.2 线性连续算子的性质105

3.1.3 有限维赋范空间上的线性算子的连续性110

3.1.4 线性算子空间的性质111

3.1.5 Banach代数112

3.2 一致有界原理113

3.2.1 一致有界原理113

3.2.2 线性算子的各种收敛性116

3.3 开映射定理与逆算子定理119

3.3.1 开映射定理119

3.3.2 逆算子定理122

3.3.3 逆算子定理的应用124

3.4 闭线性算子与闭图像定理127

3.4.1 乘积空间127

3.4.2 闭线性算子127

3.4.3 闭图像定理130

第4章 共轭空间134

4.1 共轭空间134

4.1.1 共轭空间134

4.1.2 序列空间的共轭空间134

4.1.3 共轭空间的性质140

4.2 自反Banach空间141

4.2.1 J映射的定义和性质141

4.2.2 自反的定义和性质142

4.2.3 Banach空间自反的判别法142

4.2.4 自反Banach空间的几何性质143

4.3 弱收敛146

4.3.1 弱收敛146

4.3.2 弱紧性152

4.3.3 弱＊收敛152

4.3.4 弱＊紧性153

4.4 共轭算子155

4.4.1 共轭算子的定义155

4.4.2 共轭算子的性质156

第5章 Hilbert空间158

5.1 内积空间158

5.1.1 内积的定义158

5.1.2 Cauchy-Schwarz不等式158

5.1.3 内积与范数的关系161

5.1.4 内积的性质162

5.1.5 赋范空间可以引入内积的条件162

5.2 投影定理166

5.2.1 正交的定义166

5.2.2 正交的性质167

5.2.3 投影的定义171

5.2.4 投影的性质172

5.2.5 投影定理172

5.2.6 投影算子174

5.2.7 正交性在Banach空间的推广175

5.3 Hilbert空间的正交集175

5.3.1 正交集的定义和性质175

5.3.2 正交集的规范化176

5.3.3 Fourier系数的定义和性质176

5.3.4 Bessel不等式178

5.3.5 级数∞∑i-1（x，ei）ei的收敛性178

5.3.6 正交规范基的定义180

5.3.7 正交规范基的判别法181

5.3.8 Hilbert空间正交规范基的稳定性183

5.3.9 可分的Hilbert空间的拓扑结构184

5.4 Hilbert空间的共轭空间187

5.4.1 Riesz表示定理的应用188

5.4.2 Hilbert空间的自共轭性189

5.4.3 Hilbert空间的伴随算子190

5.4.4 重要伴随算子的性质194

参考文献198

索引199