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第一编 初等方法3

第0章 绪论3

0从两道美国大学生数学竞赛试题谈起3

1一位中学教师的探索9

2什么是包络26

3怎样求包络29

4一个常用的极限32

第1章 直线族的包络35

1已知方程的直线族的包络35

2斜截式直线族的包络42

3双截距式直线族的包络46

4点斜式直线族的包络51

5中垂线式直线族的包络58

6两点式直线族的包络61

7法线式直线族的包络73

附录1用动直线的包络定义二次曲线 78

第2章 圆族的包络86

1已知圆心及半径的圆族的包络86

2已知直径的圆族的包络92

3过已知三点的圆族的包络101

附录2用Clairaut方程定义二次曲线109

1Clairaut方程的理论109

2利用Clairaut方程的奇解定义二次曲线110

第3章 圆锥曲线族的包络116

1圆锥曲线116

2椭圆族的包络116

3双曲线族的包络118

4抛物线族的包络121

附录3从克莱罗（ Clairaut）方程看二次曲线125

第4章 高次曲线族的包络135

1高次曲线135

2有尖点的高次曲线族的包络137

3有结点的高次曲线族的包络144

4有孤立点的高次曲线族的包络149

5有自交点的高次曲线族的包络153

6有拐点的高次曲线族的包络154

7高次曲线沿本身平行移动的包络160

8高次曲线沿其他高次曲线平行移动的包络164

第5章 应用问题169

1机械方面的应用169

2军事及农业方面的应用171

3几何光学方面的应用175

4绘图方面的应用179

5解综合题方面的应用181

6曲线族中相邻两曲线相交于虚点时所形成的虚包络184

7曲线族中相邻两曲线相交于虚点时所形成的实包络187

8包络的导数解法194

附录4 Clairaut微分方程与（曲线）切线方程的关系207

1 Clairaut方程的理论207

2应用208

第二编 用微分几何的方法研究包络217

第6章 平面曲线的微分几何217

1切线，法线，弧长，在技术上有重要应用的一些曲线217

2两条曲线的相交与相切231

3曲率，曲率圆与渐屈线238

4极坐标的应用，反演250

5渐近线265

6奇点与包络线271

7特种应用与例子278

第7章 中学教师用到的微分几何288

1一个错题引起的讨论288

2曲线族的包络294

3平面曲线族的包络298

4具有一个自由度而运动着的平面及它的特征线302

5包络的脊线304

6可展曲面305

7柱面307

第8章 包络在力学领域中的应用308

1莫尔强度理论308

2平面曲线族的包络310

3曲面及其切线，曲面的法线315

4曲面的奇异点320

5空间曲线的隐表示式322

第9章 包络面及其应用323

1 一阶线性偏微分方程，几何解324

2曲面族的包络面概要325

3单参数曲面族的包络327

4带双参数的包络328

第10章 可展曲面330

1曲面族的包络330

2曲面族的特征线333

3脊线335

4可展曲面337

5极曲面341

6极曲面的特征点343

7密切球344

8切平面的包络347

9由法线组成的可展曲面348

10空间渐屈线351

第11章 吴大任，骆家舜论包络在齿轮啮合中的应用353

1齿轮传动与微分几何354

2单参数曲面族的包络面380

第12章 二次作用和直接展成法原理395

1关于三个相切曲面的一个引理396

2关于二次接触401

3第一次包络，曲面偶[Σ（2），Σ（1）]407

4第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）] 410

5直接展成法概述417

6关于直接展成法的一般计算方法419

第13章 平面二次包络（直接展成法）423

1坐标系及其底矢变换公式423

2平面第一次包络，曲面偶[Σ（2），Σ（1）]426

3平面第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）]434

4平面第二次包络，曲面偶[Σ（1），Σ（2）]439

5经过修形的二次包络446

第14章 间接展成法原理，平面二次包络（间接展成法）456

1中介齿面457

2间接展成法原理466

3平面二次包络（间接展成法）478

第15章 利用包络解非线性偏微分方程495

第16章 包络在变分学中的应用502

1逗留函数502

2 Euler微分方程的积分法503

3 Weierstrass E函数中的包络，极小的充分条件507

附录5包络与Clairaut方程，奇解概念514

附录6圆柱面绕任意轴回转形成的包络面分析521

1引言521

2面对的问题522

3包络面的形成过程及其方程523

4包络面的影响因素分析527

5包络面的特征总结531

6包络面特征在机械学科中的应用531

附录7关于包络方法及在空间啮合理论中的应用534

1算符534

2包络面，接触线541

3接触线在包络面上的包络线，一类界点543

4接触线在母面上的包络线，二类界点546

5二次包络549

6应用举例555

附录8有心二次曲线的包络形成法561

附录9有心二次曲线和有心二次曲面的包络形成法564

1引言564

2有心二次曲线的包络形成法566

3有心二次曲面的包络形成法573

附录10函数最值中的包络线580

附录11曲线包络的GeoGebra实现及教学应用588

1身边的包络现象及其含义589

2曲线包络的GeoGebra实现590

3包络在教学中的应用举例592

附录12多次包络共轭曲面问题598

附录13直线族的法线表示式612

附录14基于初中层面的弦张定点成直角的问题探究627

附录15 波拉索洛夫论曲线族的包络643

编辑手记655