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第7章　重积分1

7.1　重积分的概念与性质1

7.1.1　重积分的定义1

7.1.2　重积分的性质3

习题7.14

7.2　二重积分的计算法5

7.2.1　利用直角坐标计算二重积分5

7.2.2　利用极坐标计算二重积分11

7.2.3 二重积分的一般换元法14

习题7.217

7.3　三重积分的计算法20

7.3.1 直角坐标系下三重积分的计算法20

7.3.2　柱面坐标系下三重积分的计算法22

7.3.3　球面坐标系下三重积分的计算法24

习题7.326

7.4　重积分的应用28

7.4.1　曲面的面积28

7.4.2　质心30

7.4.3　转动惯量32

7.4.4 引力33

习题7.434

7.5　本章小结35

7.5.1 基本要求35

7.5.2 内容提要35

7.5.3　学习指导40

7.6　总习题742

第8章 曲线积分与曲面积分44

8.1 曲线积分44

8.1.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）44

8.1.2　对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）47

8.1.3　两类曲线积分之间的联系53

习题8.155

8.2　格林公式及其应用56

8.2.1 格林公式56

8.2.2　平面上曲线积分与路径无关的条件61

习题8.265

8.3 曲面积分66

8.3.1　对面积的曲面积分（第一类曲面积分）66

8.3.2　对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）68

8.3.3　两类曲面积分之间的联系72

习题8.375

8.4　高斯公式、通量与散度77

8.4.1 高斯公式77

8.4.2　通量与散度80

习题8.482

8.5　斯托克斯公式　环流量与旋度83

8.5.1　斯托克斯公式83

8.5.2　环流量与旋度86

8.5.3　汉密尔顿算子87

习题8.588

8.6　本章小结89

8.6.1 基本要求89

8.6.2 内容提要89

8.6.3　学习指导93

8.7 总习题894

第9章　无穷级数97

9.1 常数项级数的概念与性质97

9.1.1　常数项级数的概念97

9.1.2　收敛级数的基本性质99

习题9.1101

9.2　常数项级数的审敛法102

9.2.1　正项级数及其审敛法102

9.2.2　交错级数及其审敛法107

9.2.3　绝对收敛与条件收敛108

9.2.4 绝对收敛级数的运算性质109

习题9.2112

9.3　幂级数113

9.3.1 函数项级数的概念113

9.3.2　幂级数及其收敛性114

9.3.3　幂级数的性质118

习题9.3120

9.4　将函数展开成幂级数121

9.4.1 泰勒级数121

9.4.2　将函数展开成幂级数122

9.4.3 函数的幂级数展开式在近似计算中的应用127

9.4.4 欧拉公式129

习题9.4130

9.5　傅里叶级数131

9.5.1　三角函数系的正交性132

9.5.2　将函数展开成傅里叶级数132

9.5.3　正弦级数与余弦级数136

习题9.5139

9.6　一般周期函数的傅里叶级数140

9.6.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数140

9.6.2 傅里叶级数的复数形式144

习题9.6145

9.7　本章小结146

9.7.1 基本要求146

9.7.2 内容提要147

9.7.3　学习指导149

9.8　总习题9150

第10章　常微分方程153

10.1 常微分方程的基本概念153

10.1.1 引例153

10.1.2　微分方程的概念155

10.1.3　微分方程的解155

习题10.1156

10.2　一阶微分方程157

10.2.1　分离变量法157

10.2.2　一阶线性微分方程160

10.2.3　全微分方程162

10.2.4　几类可降阶的高阶微分方程163

习题10.2165

10.3　高阶线性微分方程166

10.3.1 高阶线性微分方程解的结构167

10.3.2　常系数齐次线性微分方程169

10.3.3　常系数非齐次线性微分方程170

10.3.4　欧拉方程174

10.3.5　微分方程的幂级数解法175

习题10.3177

10.4　本章小结179

10.4.1 基本要求179

10.4.2 内容提要179

10.5　总习题10181

第11章　复变函数与解析函数183

11.1　复数及其运算183

11.1.1　复数的概念及其表示法183

11.1.2　复数的代数运算185

11.1.3　复数的乘幂与方根186

习题11.1188

11.2　复变函数189

11.2.1　复变函数的概念189

11.2.2　复变函数的极限与连续性190

习题11.2192

11.3　解析函数193

11.3.1　复变函数的导数193

11.3.2　解析函数的概念194

11.3.3　函数解析的充要条件195

习题11.3197

11.4　初等函数198

11.4.1　指数函数198

11.4.2　三角函数与双曲函数199

11.4.3　对数函数200

11.4.4　幂函数201

11.4.5 反三角函数与反双曲函数201

习题11.4202

11.5　本章小结202

11.5.1　基本要求202

11.5.2　内容提要202

11.5.3　学习指导204

11.6　总习题11204

第12章　复变函数的积分206

12.1 复变函数积分的概念206

12.1.1　复变函数积分的定义206

12.1.2　复变函数积分存在的条件及其计算法206

12.1.3　复变函数积分的基本性质208

习题12.1209

12.2　积分基本定理210

12.2.1　单连通域内的柯西定理210

12.2.2　多连通域内的柯西定理211

12.2.3　原函数与不定积分212

习题12.2214

12.3　积分基本公式214

12.3.1　柯西积分公式214

12.3.2　解析函数的高阶导数公式216

习题12.3218

12.4　解析函数与调和函数的关系218

12.4.1 调和函数及其与解析函数的关系218

12.4.2　已知调和函数求解析函数220

习题12.4222

12.5　本章小结222

12.5.1　基本要求222

12.5.2 内容提要222

12.5.3　学习指导224

12.6　总习题12224

第13章　复变函数的级数与留数定理226

13.1　复变函数项级数226

13.1.1　复数项级数226

13.1.2　复变函数项级数228

13.1.3　幂级数的运算和性质230

习题13.1232

13.2　泰勒级数233

13.2.1　泰勒级数定义233

13.2.2　求解析函数的泰勒展开式234

习题13.2235

13.3　洛朗级数236

13.3.1　洛朗级数定义236

13.3.2　求函数的洛朗展开式237

习题13.3239

13.4　留数与留数定理240

13.4.1　孤立奇点及其类型240

13.4.2 留数与留数定理应用243

习题13.4247

13.5　本章小结248

13.5.1　基本要求248

13.5.2 内容提要248

13.5.3　学习指导250

13.6 总习题13251

参考文献254