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绪论1

0.1　经典力学从Newton到Birkhoff1

0.1.1 Newton力学1

0.1.2　Lagrange力学3

0.1.3　Hamilton力学5

0.1.4　非完整力学6

0.1.5　Birkhoff力学8

0.1.6　小结10

0.2　对称性11

0.3　绝热不变量12

0.4　分岔与混沌13

0.4.1　分岔13

0.4.2　混沌15

0.5　Hamilton系统的分岔与混沌18

0.5.1　平面Hamilton系统的性质18

0.5.2　Melnikov方法及其应用18

0.5.3　KAM定理19

0.5.4　广义Hamilton系统19

参考文献20

第一章　Birkhoff系统动力学基本理论框架23

1.1　Birkhoff方程和Pfaff-Birkhoff原理24

1.1.1　Birkhoff方程24

1.1.2　Pfaff-Birkhoff原理25

1.2　完整力学系统的Birkhoff动力学26

1.2.1　特殊完整系统的Birkhoff动力学26

1.2.2 一般完整系统的Birkhoff动力学26

1.3　非完整力学系统的Birkhoff动力学27

1.4　Birkhoff系统的积分理论28

1.4.1　Birkhoff方程的变换理论28

1.4.2　广义Hamilton-Jacobi方法29

1.4.3　Birkhoff系统的Noether理论29

1.4.4　积分Birkhoff方程的场方法30

1.4.5　Birkhoff系统的Poisson理论30

1.5　Birkhoff系统动力学逆问题30

1.6　Birkhoff系统的运动稳定性31

1.7　Birkhoff系统的代数和几何描述32

1.7.1　代数表示32

1.7.2　几何表示32

参考文献33

第二章　Birkhoff系统的降阶法与积分不变量的构造35

2.1　自由Birkhoff系统的Poisson理论35

2.1.1　自由Birkhoff系统的广义Poisson括号36

2.1.2 第一积分的广义Poisson条件37

2.1.3 自由Birkhoff系统的广义Poisson定理38

2.1.4　算例40

2.2　约束Birkhoff系统的Poisson理论41

2.2.1 约束Birkhoff系统运动方程的逆变代数形式41

2.2.2 约束Birkhoff系统的Poisson理论44

2.2.3　算例46

2.3　Birkhoff系统的第一积分及其降阶法48

2.3.1　Birkhoff系统的循环积分48

2.3.2　Birkhoff系统的广义能量积分51

2.3.3　算例52

2.4 自由Birkhoff系统等时变分下积分不变量的构造54

2.4.1 自由Birkhoff系统的等时变分方程54

2.4.2 自由Birkhoff系统等时变分下积分不变量的构造54

2.5 约束Birkhoff系统等时变分下积分不变量的构造55

2.5.1 约束Birkhoff系统的等时变分方程55

2.5.2 约束Birkhoff系统等时变分下积分不变量的构造56

2.6　自由Birkhoff系统非等时变分下积分不变量的构造57

2.6.1　自由Birkhoff系统的非等时变分方程57

2.6.2 自由Birkhoff系统非等时变分下积分不变量的构造58

2.7　约束Birkhoff系统非等时变分下积分不变量的构造59

2.7.1　约束Birkhoff系统的非等时变分方程59

2.7.2 约束Birkhoff系统非等时变分下积分不变量的构造61

参考文献62

第三章　Birkhoff系统的形式不变性63

3.1 自由Birkhoff系统的形式不变性64

3.1.1 自由Birkhoff系统的形式不变性64

3.1.2 形式不变性与Noether对称性66

3.1.3　算例66

3.2　约束Birkhoff系统的方程67

3.2.1　Pfaff-Birkhoff-D′Alembert原理67

3.2.2　约束Birkhoff系统带乘子的运动方程68

3.2.3 约束Birkhoff系统不带乘子的运动方程69

3.3　约束Birkhoff系统的形式不变性71

3.3.1 约束Birkhoff系统的形式不变性71

3.3.2　约束Birkhoff系统形式不变性与Noether对称性73

3.3.3　算例73

参考文献75

第四章　Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性79

4.1　Pfaff作用量与Noether对称性79

4.1.1　Pfaff作用量的变分79

4.1.2　对称变换、准对称变换和广义准对称变换81

4.1.3　广义Killing方程85

4.1.4　算例86

4.2　自由Birkhoff系统的Noether理论87

4.2.1 自由Birkhoff系统的运动方程87

4.2.2　广义Noether定理87

4.2.3 广义Noether逆定理88

4.2.4　算例89

4.3　约束Birkhoff系统的Noether理论91

4.3.1 约束Birkhoff系统的运动方程91

4.3.2　相应自由系统的Noether理论92

4.3.3　约束Birkhoff系统的广义Noether定理92

4.3.4 约束Birkhoff系统的广义Noether逆定理94

4.3.5 约束Birkhoff系统与相应自由Birkhoff系统的对称性95

4.3.6 算例96

4.4 自由Birkhoff系统的Lie对称性97

4.4.1　自由Birkhoff系统的运动方程97

4.4.2　无限小群变换与确定方程98

4.4.3　结构方程与守恒量99

4.4.4　Lie对称性逆问题100

4.4.5 算例101

4.5　约束Birkhoff系统的Lie对称性104

4.5.1 约束Birkhoff系统的运动方程104

4.5.2 确定方程、限制方程和附加限制方程105

4.5.3 结构方程与守恒量106

4.5.4　Lie对称性逆问题107

4.5.5　算例108

4.6 自由Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性111

4.6.1 自由Birkhoff系统的Noether对称性111

4.6.2 自由Birkhoff系统的Lie对称性112

4.6.3　自由Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性的关系113

4.6.4　算例113

4.7　约束Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性115

4.7.1 约束Birkhoff系统的Noether对称性115

4.7.2 约束Birkhoff系统的Lie对称性117

4.7.3 约束Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性的关系117

4.7.4 算例118

参考文献120

第五章　Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量122

5.1　自由Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量123

5.1.1 自由Birkhoff系统的运动方程123

5.1.2　无限小单参数变换与确定方程124

5.1.3 结构方程与精确不变量125

5.1.4　自由Birkhoff系统的绝热不变量126

5.1.5 有关结论的逆命题128

5.1.6 算例130

5.2　约束Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量131

5.2.1　约束Birkhoff系统的方程131

5.2.2 确定方程、限制方程和附加限制方程132

5.2.3　结构方程与精确不变量133

5.2.4 约束Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量133

5.2.5 有关结论的逆命题134

5.2.6 算例136

参考文献140

第六章　二阶自治Birkhoff系统的定性理论143

6.1　二阶自治Birkhoff系统的奇点类型143

6.1.1 系统的运动方程和奇点方程143

6.1.2 用线性近似系统判断系统的奇点145

6.1.3 用Birkhoff函数B判断系统的奇点147

6.1.4　对称原理148

6.1.5 闭轨与极限环149

6.1.6　关于平衡稳定性150

6.2　稳定流形和不稳定流形150

6.2.1　双曲平衡点150

6.2.2　稳定流形和不稳定流形151

6.2.3 无穷远奇点和全局结构151

6.2.4　算例152

6.3　平衡点分岔155

6.3.1 极限点分岔156

6.3.2　跨临界分岔156

6.3.3 叉形分岔157

6.4　一类广义Birkhoff系统的代数极限环158

参考文献160

第七章 Birkhoff系统的平衡稳定性、运动稳定性与全局稳定性161

7.1　稳定性基本概念与基本定理161

7.1.1 受扰运动微分方程161

7.1.2　稳定性定义162

7.1.3 Ляпунов函数和K类函数163

7.1.4 Ляпунов直接法的基本定理164

7.1.5 定常线性系统的Ляпунов函数165

7.1.6 Ляпунов一次近似理论167

7.1.7　Routh-Hurwitz判据168

7.2 自治Birkhoff系统的平衡稳定性171

7.2.1 系统运动方程和平衡方程171

7.2.2 自治系统受扰运动方程和一次近似方程172

7.2.3　自治Birkhoff系统平衡稳定性的一次近似方法172

7.2.4 自治Birkhoff系统平衡稳定性的直接方法173

7.2.5　Birkhoff系统平衡状态流形的稳定性174

7.3　Birkhoff系统的运动稳定性176

7.3.1 Birkhoff系统的受扰运动方程176

7.3.2 Birkhoff系统的运动稳定性177

7.4 自治Birkhoff系统的全局稳定性180

7.4.1 自治Birkhoff系统的全局稳定性180

7.4.2 算例183

参考文献185

第八章　Birkhoff系统的分岔与混沌187

8.1　Melnikov方法188

8.1.1 同宿轨道的平面Hamilton系统的Melnikov函数188

8.1.2 具有异宿圈的平面Hamilton系统的Melnikov函数191

8.1.3 平面非Hamilton系统的Melnikov函数192

8.2 高维自治Birkhoff系统周期解的存在性193

8.2.1 系统运动方程和奇点方程193

8.2.2　Fréchet导数194

8.2.3　周期解族的存在性195

8.2.4 算例196

8.3 二阶自治Birkhoff扰动系统的Poincaré分岔197

8.3.1 系统运动方程和闭轨方程198

8.3.2　Poincaré分岔199

8.3.3　算例202

8.4　具有异宿圈的二阶自治Birkhoff系统的混沌203

8.4.1 系统运动方程和异宿轨道方程203

8.4.2　混沌判据204

8.4.3　算例206

参考文献207