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第一章 数学方法1

1科学方法2

1.科学方法论——归纳法与演绎法2

2.经验数学4

3.演绎数学5

4.欧氏几何的历史地位7

2数学方法的精髓7

1.引入基本概念7

2.抽象化8

3.理想化9

4.符号化9

5.演绎法的结构10

6.演绎推理的地位11

7.合情推理与论证推理12

第二章 数学与西方文明13

1古希腊的数学14

1.自然数是万物之母15

2.欧几里得的《几何原本》16

1.伽利略的规划17

2自然科学的数学化17

2.宇宙的和谐18

3.物理学20

4.化学21

5.生命的奥秘22

6.概率论与太空旅行24

3数学与人文科学25

1.数学与西方宗教25

2.数学与西方政治26

3.人口论28

4.史学29

5.数学与语言学30

6.诺贝尔经济奖与数学31

4数学与艺术32

1.科学与艺术32

2.傅里叶的功绩34

3.数学与绘画35

5笛卡儿的方法论38

第三章 数与形41

1形数42

1.算术的运算规律42

2.自然数的求和公式44

3.自然数的平方和46

4.正负交错的自然数平方和47

5.自然数的立方和47

2利用面积求无穷序列的和48

1.等比级数的求和公式48

2.一个无穷和49

3代数与几何关系式50

1.赵爽对勾股定理的证明50

2.几何平均数与算术平均数51

3.变换—求解—还原53

习题55

第四章 数学的发现57

1引言58

1.学点方法论58

2.归纳法与数学归纳法58

2归纳推理59

1.归纳法实例59

2.等周问题61

3.等周定理的证明62

1.如何类比65

3类比65

2.类比的重要性66

3.更上一层楼68

4.伯努利问题69

第五章 特殊化与一般化75

1引言76

1.一般化与特殊化76

2.向量模式79

3.伽利略与落体运动80

1.物不知其数81

2孙子定理81

2.孙子问题的解法分析83

3.孙子定理84

3辗转相除法85

1.带余除法85

2.辗转相除法85

4插值理论88

1.引申88

2.应用——求和公式90

习题92

第六章 数学归纳法93

1数学归纳法本义94

1.什么是数学归纳法？94

2.数学归纳法要义98

2灵活使用数学归纳法98

1.数学归纳法在代数学中的应用98

2.斐波那契级数101

3.数学归纳法在计算中的应用103

4.数学归纳法与贾宪三角105

习题108

5.历史注记108

第七章 逻辑初步111

1引言112

1.思维的科学112

2.公理与逻辑113

3.史注113

2逻辑的方法114

1.比较法114

2.分析与综合114

3.抽象与概括114

2.种和属115

1.概念的外延和内涵115

3概念115

3.等价关系与分类（划分）116

4定义118

5判断119

1.判断119

2.否定判断120

3.含量词的判断121

4.连接词122

5.关于“或”的复合判断123

6.关于“与”的复合判断124

习题126

6条件句和双条件句126

1.条件句126

2.双条件句——“当且仅当……”的复合判断128

3.逻辑学与集合论129

4.符号逻辑小结130

7逻辑思维的基本规律130

1.同一律130

2.矛盾律131

4.充足理由律132

3.排中律132

8三段论法133

1.推理133

2.三段论法的定义和结构133

3.否定后件的推理136

4.传递推理136

5.选言推理137

6.两种错误推理138

7.总结138

习题139

第八章 数学命题和证明方法141

1命题与定理142

1.数学命题142

2.定理的结构143

3.定理系统144

2逆命题和否命题145

1.为什么要研究逆命题145

2.逆命题制造法147

3.否命题制造法148

1.命题的四种形式149

3命题的四种形式149

习题149

2.命题的等价性151

习题152

4充分条件和必要条件153

1.充分的特征153

2.必要的特征154

3.必要而且充分的特征154

习题155

2.反证法156

1.直接证法与间接证法156

5间接证法156

3.同一法160

6分析法与综合法161

习题162

第九章 证明的限度165

1.希尔伯特的梦想166

2.数学的公理化167

3.哥德尔的不完全性定理168

附录171

关于读书171