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第一部分 高等数学3

第一章 函数 极限 连续3

大纲解读3

考试内容3

考试要求3

大纲知识点精解3

1 函数3

考点梳理3

一、基本概念3

二、重要性质、公式与结论6

例题解析7

题型一 求函数的定义域与函数表达式7

题型二 函数的性质8

2 极限10

考点梳理10

一、基本概念10

二、重要性质、公式与结论11

例题解析14

题型一 求函数极限14

题型二 求数列极限19

题型三 无穷小的比较22

题型四 已知极限或无穷小求待定参数24

3 函数的连续与间断26

考点梳理26

一、基本概念26

二、重要性质、公式与结论27

例题解析27

题型一 初等函数和抽象函数的连续与间断27

题型二 分段函数的连续性28

题型三 由极限定义的函数的连续性29

题型四 连续函数的零点问题30

题型五 综合题31

习题精选与预测33

第二章 一元函数微分学36

大纲解读36

考试内容36

考试要求36

大纲知识点精解37

1 导数与微分37

考点梳理37

一、基本概念37

二、重要性质、公式与结论38

例题解析38

题型一 利用导数与微分的定义解题38

题型二 可微、可导、连续与极限的关系41

题型三 导数的物理、几何应用41

2 导数的计算42

考点梳理42

重要性质、公式与结论42

例题解析44

题型一 利用导数公式与运算法则求导44

题型二 求分段函数导数或微分45

题型三 幂指函数的导数或微分46

题型四 由参数方程确定的函数的导数46

题型五 隐函数求导47

题型六 求n阶导数47

3 利用导数研究函数的性态49

考点梳理49

一、基本概念49

二、重要性质、公式与结论50

例题解析51

题型一 求曲率与曲率半径51

题型二 利用导数讨论函数单调性、极值与最值52

题型三 函数的凹凸性与拐点53

题型四 求曲线的切线、法线和渐近线55

题型五 综合题56

4 微分中值定理、零点问题与不等式证明58

考点梳理58

重要性质、公式与结论58

例题解析60

题型一 函数零点的存在性与个数问题60

题型二 证明项中包含ξ，f（ξ），f′（ξ），…的问题62

题型三 证明项中包含ξ，η，f（ξ），f（η），f′（ξ），f′（η）的问题65

题型四 不等式证明66

习题精选与预测68

第三章 一元函数积分学74

大纲解读74

考试内容74

考试要求74

大纲知识点精解74

1 不定积分与定积分的概念与性质74

考点梳理74

一、基本概念74

二、重要性质、公式与结论75

例题解析77

2 不定积分与定积分的计算79

考点梳理79

重要性质、公式与结论79

例题解析81

题型一 有理函数的积分81

题型二 无理函数的积分81

题型三 三角函数的积分82

题型四 乘积的混合式积分84

题型五 分段函数与绝对值函数的积分86

题型六 变限积分问题88

3 反常积分90

考点梳理90

一、基本概念90

二、重要性质、公式与结论91

例题解析92

题型一 反常积分的计算92

题型二 判定反常积分的敛散性93

4 定积分的应用95

考点梳理95

重要性质、公式与结论95

例题解析96

题型一 几何应用96

题型二 物理应用99

5 定积分的证明100

例题解析100

题型一 等式的证明100

题型二 不等式的证明101

习题精选与预测103

第四章 多元函数微积分学115

大纲解读115

考试内容115

考试要求115

大纲知识点精解115

1 多元函数的极限与连续性115

考点梳理115

一、基本概念115

二、重要性质、公式与结论116

例题解析116

题型一 二元函数的概念116

题型二 二元函数的极限117

2 偏导数与全微分118

考点梳理118

一、基本概念118

二、重要性质、公式与结论119

例题解析119

题型一 简单的二元函数偏导数与微分计算119

题型二 二元函数连续、可偏导、可微的关系121

3 多元函数求导法则124

考点梳理124

重要性质、定理与公式124

例题解析125

题型一 求复合函数的偏导数与全微分125

题型二 求隐函数的偏导数与全微分129

4 多元函数的极值与最值133

考点梳理133

一、基本概念133

二、重要性质、定理与公式134

例题解析135

题型一 求解多元函数的无条件极值135

题型二 求解多元函数的条件极值138

题型三 求解多元函数的最值139

5 二重积分142

考点梳理142

一、基本概念142

二、重要性质、公式与结论142

例题解析146

题型一 二重积分的概念和性质146

题型二 直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算146

题型三 二次积分交换积分次序152

题型四 利用对称性计算二重积分154

习题精选与预测157

第五章 微分方程163

大纲解读163

考试内容163

考试要求163

大纲知识点精解163

1 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程的解法163

考点梳理163

一、基本概念163

二、重要定理、性质与公式164

例题解析165

题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解165

题型二 一阶线性微分方程166

题型三 可降阶的高阶微分方程的求解167

2 高阶线性微分方程169

考点梳理169

一、基本概念169

二、重要定理、性质与公式169

例题解析171

题型一 高阶线性微分方程解的结构、性质与判定171

题型二 求解二阶线性微分方程172

3 微分方程的应用173

考点梳理173

重要定理、性质与公式173

例题解析173

习题精选与预测179

第二部分 线性代数185

第一章 行列式185

大纲解读185

考试内容185

考试要求185

大纲知识点精解185

考点梳理185

一、基本概念185

二、重要性质、公式与结论186

例题解析188

题型一 行列式的概念及性质188

题型二 数字型行列式的计算190

题型三 抽象行列式的计算194

题型四 有关｜A｜＝0的证明195

习题精选与预测195

第二章 矩阵199

大纲解读199

考试内容199

考试要求199

大纲知识点精解199

1 矩阵的概念及运算199

考点梳理199

一、基本概念199

二、重要性质、公式与结论201

2 可逆矩阵与伴随矩阵202

考点梳理202

一、基本概念202

二、重要性质、公式与结论203

3 矩阵的初等变换204

考点梳理204

一、基本概念204

二、重要性质、公式与结论204

4 分块矩阵205

考点梳理205

一、基本概念205

二、重要性质、公式与结论205

例题解析206

题型一 矩阵的概念及运算206

题型二 求方阵的幂207

题型三 矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算209

题型四 伴随矩阵211

题型五 矩阵的初等变换213

题型六 分块矩阵214

题型七 求解矩阵方程216

习题精选与预测220

第三章 向量224

大纲解读224

考试内容224

考试要求224

大纲知识点精解224

1 向量与向量组的线性相关性224

考点梳理224

一、基本概念224

二、重要定理、性质与公式225

例题解析226

题型一 线性相关性的判别与证明226

题型二 向量与向量组的线性表出229

2 极大线性无关组与向量组的秩232

考点梳理232

一、基本概念232

二、重要定理、性质与公式233

例题解析234

题型一 矩阵的秩234

题型二 向量组的秩与极大线性无关组235

题型三 向量组的等价237

3 内积与施密特正交化239

考点梳理239

一、基本概念239

二、重要定理、性质与公式240

例题解析241

习题精选与预测242

第四章 线性方程组246

大纲解读246

考试内容246

考试要求246

大纲知识点精解246

1 齐次线性方程组246

考点梳理246

一、基本概念246

二、重要性质、公式与结论247

2 非齐次线性方程组249

考点梳理249

一、基本概念249

二、重要性质、公式与结论249

例题解析250

题型一 线性方程组解的判定、性质与结构250

题型二 求解齐次线性方程组254

题型三 求解非齐次线性方程组257

题型四 两方程组的公共解与同解问题266

习题精选与预测270

第五章 矩阵的特征值和特征向量274

大纲解读274

考试内容274

考试要求274

大纲知识点精解274

1 特征值与特征向量274

考点梳理274

一、基本概念274

二、重要性质、公式与结论275

例题解析276

题型一 求数字型矩阵的特征值与特征向量276

题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量279

题型三 特征值与特征向量的逆问题281

题型四 有关特征值与特征向量的证明题283

2 相似矩阵及矩阵的相似对角化285

考点梳理285

一、基本概念285

二、重要性质、公式与结论285

例题解析286

题型一 相似矩阵的性质及其判定286

题型二 方阵的对角化问题289

3 实对称矩阵及其相似对角化293

考点梳理293

一、基本概念293

二、重要性质、公式与结论293

例题解析294

题型一 实对称矩阵的性质294

题型二 实对称矩阵的对角化299

习题精选与预测302

第六章 二次型306

大纲解读306

考试内容306

考试要求306

大纲知识点精解306

1 二次型的定义、矩阵表示306

考点梳理306

基本概念306

2 化二次型为标准形和规范形307

考点梳理307

一、基本概念307

二、重要性质、公式与结论308

3 合同矩阵309

考点梳理309

一、基本概念309

二、重要性质、公式与结论309

4 正定二次型与正定矩阵309

考点梳理309

一、基本概念309

二、重要性质、公式与结论309

例题解析310

题型一 二次型的基本概念310

题型二 线性变换312

题型三 化二次型为标准形和规范形313

题型四 矩阵的合同318

题型五 正定二次型与正定矩阵的判定与证明320

习题精选与预测324

附录327

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题327

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题解析330

后记345