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第9章　微分方程1

9.1 微分方程的基本概念1

9.1.1 定义1

9.1.2　建立微分方程举例5

习题9.18

9.2　一阶微分方程9

9.2.1　可分离变量的方程9

9.2.2　一阶线性方程15

9.2.3　齐次型方程19

9.2.4　伯努利方程22

习题9.225

9.3 可降阶的高阶微分方程27

9.3.1　形如y(n)=f(x)的微分方程27

9.3.2　形如y＂=f(x，y＇)的微分方程28

9.3.3　形如y＂=(y，y＇)的微分方程31

习题9.334

9.4　线性微分方程35

9.4.1　二阶线性微分方程35

9.4.2　二阶线性微分方程解的结构37

9.4.3　二阶线性常系数微分方程的解法41

9.4.4　高阶线性常系数微分方程及线性方程组56

9.4.5　欧拉（Euler）方程60

习题9.462

9.5　数学模型与拓展64

9.5.1 与微分方程相关的例子64

9.5.2　小课题研讨：死亡时间的推测69

9.5.3　微分方程近似解法简介70

9.5.4　差分方程75

第9章　总习题82

第10章 向量与空间解析几何84

10.1 向量及其运算84

10.1.1 向量的概念84

10.1.2　向量的线性运算85

10.1.3　内积89

10.1.4　向量的外积与混合积92

习题10.195

10.2　空间直角坐标系与向量代数96

10.2.1 空间直角坐标系96

10.2.2　向量沿坐标轴的分解97

10.2.3 向量代数99

习题10.2105

10.3　平面与直线106

10.3.1 平面107

10.3.2　直线112

10.3.3　几个相关问题116

习题10.3121

10.4 空间曲面124

10.4.1　特殊曲面125

10.4.2　二次曲面128

习题10.4134

10.5 一元向量函数 空间曲线136

10.5.1 一元向量函数与空间曲线方程136

10.5.2　一元向量函数的导数140

10.5.3 一元向量函数的积分空间曲线的弧长142

习题10.5144

10.6　数学模型与拓展145

第10章　总习题147

第11章 多元函数微分学150

11.1 多元函数150

11.1.1 多元函数的概念150

11.1.2　点集的基本知识152

11.1.3　二元函数的几何表示155

11.1.4　多元函数的极限157

11.1.5 多元函数的连续性160

习题11.1163

11.2 偏导数165

11.2.1 偏导数的概念165

11.2.2　全微分的概念169

11.2.3　全微分在近似计算中的应用175

11.2.4　方向导数及梯度177

习题11.2183

11.3　复合函数微分法186

11.3.1　链式法则186

11.3.2　全微分的形式不变性190

习题11.3192

11.4　隐函数微分法194

11.4.1 由一个方程确定的隐函数194

11.4.2 由方程组确定的隐函数196

11.4.3　隐函数存在定理200

习题11.4201

11.5 多元函数微分学在几何学上的应用203

11.5.1 空间曲线的切线与法平面203

11.5.2　空间曲面的切平面与法线206

习题11.5208

11.6　泰勒公式209

11.6.1　高阶偏导数209

11.6.2　泰勒公式216

习题11.6219

11.7 多元函数的极值与最值220

11.7.1 多元函数的极值220

11.7.2　多元函数的最大值与最小值225

11.7.3 条件极值与拉格朗日乘数法228

习题11.7233

11.8　数学模型与拓展234

11.8.1 壳形舒适座椅图形的绘制234

11.8.2　多元函数微分学在经济中的应用237

11.8.3　最小二乘法243

第11章　总习题247

第12章 多元函数的积分及其应用250

12.1 多元函数积分的概念与性质250

12.1.1 多元函数积分问题的产生250

12.1.2　多元函数积分的概念253

12.1.3　多元函数积分的性质260

习题12.1262

12.2　二重积分的计算264

12.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算方法264

12.2.2　二重积分在极坐标系下的计算方法272

12.2.3　二重积分的换元法则277

习题12.2284

12.3　三重积分的计算287

12.3.1 直角坐标系下三重积分的计算288

12.3.2　柱面坐标系下三重积分的计算293

12.3.3　球面坐标系下三重积分的计算298

12.3.4　三重积分的换元法则302

习题12.3305

12.4　第一型曲线积分的计算308

12.4.1 第一型平面曲线积分的计算方法308

12.4.2　第一型空间曲线积分的计算方法311

习题12.4314

12.5　第一型曲面积分的计算315

12.5.1　曲面的面积315

12.5.2　第一型曲面积分的计算方法319

习题12.5323

12.6 多元函数积分的应用324

12.6.1 质心一阶矩324

12.6.2　转动惯量二阶矩330

12.6.3　引力333

习题12.6337

12.7　数学模型与拓展338

第12章　总习题342

第13章 向量函数的积分346

13.1 第二型曲线积分346

13.1.1 向量场346

13.1.2　第二型曲线积分问题的产生349

13.1.3　第二型曲线积分的定义和性质351

13.1.4　第二型曲线积分的计算方法354

13.1.5　两类曲线积分之间的联系358

习题13.1360

13.2　格林公式362

13.2.1 格林公式362

13.2.2　平面曲线积分与路径无关的条件369

13.2.3　全微分与全微分求积374

习题13.2380

13.3 第二型曲面积分382

13.3.1 第二型曲面积分问题的产生382

13.3.2　第二型曲面积分的定义和性质384

13.3.3　第二型曲面积分的计算方法391

13.3.4　两类曲面积分之间的联系395

习题13.3396

13.4　高斯公式397

13.4.1　通量和散度397

13.4.2　高斯公式399

13.4.3　无散度场的曲面积分406

习题13.4410

13.5　斯托克斯公式411

13.5.1　斯托克斯公式412

13.5.2　环量和旋度414

13.5.3 无旋场的曲线积分418

习题13.5423

13.6　数学模型与拓展425

13.6.1　小课题研讨：飓风模型425

13.6.2　全微分方程积分因子427

第13章　总习题430

第14章　傅里叶级数434

14.1 引言435

14.1.1 周期函数435

14.1.2　三角函数系的正交性436

习题14.1437

14.2 周期函数的傅里叶级数展开438

14.2.1 周期为2π的函数的傅里叶级数展开438

14.2.2　傅里叶级数的性质445

14.2.3 周期为2l的函数的傅里叶级数展开445

习题14.2448

14.3 有限区间上定义的函数的傅里叶级数展开449

14.3.1　周期延拓449

14.3.2　奇延拓和偶延拓451

习题14.3453

14.4　数学模型与拓展454

14.4.1　小课题研讨：傅里叶系数的几何意义454

14.4.2　傅里叶级数的复数形式457

第14章　总习题457

附录Ⅰ 行列式与线性方程组459

Ⅰ.1 行列式459

Ⅰ.1.1 行列式的概念459

Ⅰ.1.2　二阶行列式459

Ⅰ.1.3　三阶行列式与四阶行列式460

Ⅰ.1.4　行列式的主要性质461

Ⅰ.2　线性方程组462

Ⅰ.2.1　克拉默法则463

Ⅰ.2.2　齐次线性方程组463

附录Ⅰ　总习题464

附录Ⅱ 习题参考答案465