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9 无穷级数1

9.1 数项级数1

9.1.1 无穷级数的基本概念1

9.1.2 正项级数6

9.1.3 交错级数16

9.1.4 级数收敛的一般判别法18

9.1.5 绝对收敛与条件收敛22

9.2 函数项级数31

9.2.1 函数项级数的收敛概念31

9.2.2 函数项级数的一致收敛性及判别法32

9.2.3 一致收敛级数的性质40

9.3 幂级数与泰勒展开式47

9.3.1 幂级数的收敛半径47

9.3.2 幂级数的性质51

9.3.3 函数的泰勒展开式55

9.3.4 初等函数的泰勒展开式58

9.3.5 幂级数的运算62

9.4 级数的应用65

9.4.1 幂级数应用于近似计算65

9.4.2 司特林公式67

9.4.3 连续函数的多项式逼近71

9.4.4 隐函数存在定理76

10 含参变量的积分84

10.1 广义积分的收敛性判别84

10.1.1 无穷区间积分的收敛判别法84

10.1.2 收敛性的精细判别法89

10.1.3 无界函数积分的收敛判别法95

10.2 含参变量的常义积分100

10.2.1 含参变量的常义积分的性质100

10.2.2 积分限依赖于参变量的积分的性质104

10.3 含参变量的广义积分107

10.3.1 积分的一致收敛概念107

10.3.2 一致收敛积分的性质112

10.3.3 几个重要的积分118

10.4 欧拉积分125

10.4.1 Γ函数的性质125

10.4.2 B函数的性质127

11 富里叶分析135

11.1 周期函数的富里叶级数135

11.1.1 周期函数、三角函数的正交性135

11.1.2 富里叶级数137

11.1.3 偶函数与奇函数的富里叶级数141

11.1.4 任意周期的情形144

11.1.5 有限区间上的函数的富里叶级数148

11.1.6 富里叶级数的复数形式153

11.1.7 贝塞尔不等式155

11.1.8 富里叶级数的收敛性159

11.2 广义富里叶级数169

11.2.1 么正函数系169

11.2.2 广义富里叶级数及平方平均收敛172

11.3.1 富里叶积分176

11.3 富里叶变换176

11.3.2 富里叶变换179

11.3.3 富里叶变换的性质183

12 线性微分方程191

12.1 微分方程解的存在性与唯一性定理191

12.1.1 皮卡（Picard）逐次逼近法，微分方程解的存在性与唯一性定理191

12.1.2 欧拉（Euler）折线法198

12.1.3 解的延拓200

12.1.4 解对初值的连续性与可微性201

12.2 二阶线性微分方程的一般理论204

12.2.1 线性齐次方程解的结构206

12.2.2 线性非齐次方程解的结构214

12.2.3 应用幂级数求解方程218

12.3 二阶常系数线性微分方程225

12.3.1 常系数线性齐次方程225

12.3.2 常系数非线性齐次方程228

12.3.3 欧拉（Euler）方程232

12.4 质点的振动236

12.4.1 自由简谐振动236

12.4.2 自由阻尼振动238

12.4.3 无阻尼的强迫振动240

12.4.4 有阻尼的强迫振动242

12.5 n阶线性微分方程245

12.5.1 n阶线性方程解的结构245

12.5.2 n阶常系数线性方程的求解246

12.6 微分方程组249

12.6.1 一般概念249

12.6.2 消元升阶法253

12.6.3 第一积分法259

12.6.4 线性方程组解的结构266

12.6.5 代数求解法268