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第一章 几何结构1

1 数学结构的意义1

1.1 数学发展的分化与统一1

1.2 现代数学结构的分类2

1.3 结构的作用4

2 现代数学中欧氏几何的结构5

2.1 几何学的向量结构6

2.2 几何学的度量结构11

3 经典数学中欧氏几何的结构14

3.1 欧几里得《几何原本》——古典公理法14

3.2 希尔伯特《几何基础》——近代公理法19

4 教育数学中欧氏几何的结构26

4.1 我国现行中学几何教材的结构分析27

4.2 国际中学几何教材改革的趋向30

4.3 二十一世纪中学平面几何新体系的探讨34

习题一46

第二章 几何证题50

1 命题与证明50

1.1 命题50

1.2 推理与证明56

2 几何证题的推理方法61

2.1 综合法与分析法61

2.2 直接证法与间接证法66

2.3 演绎推理与合情推理75

3 几何证题的思考方法79

3.1 分解拼补法79

3.2 命题转换法86

3.3 特殊化97

3.4 类比101

3.5 面积法105

4.1 三角法111

4 其他数学方法在几何证题中的应用111

4.2 代数法116

4.2 坐标法120

4.4 向量法124

4.5 复数法127

习题二138

第三章 几何变换146

1 变换与变换群146

1.1 映射146

1.2 变换147

1.3 变换群148

2 合同变换150

2.1 合同变换及其性质150

2.2 平移变换153

2.3 旋转变换156

2.4 反射162

2.5 平移、旋转、反射之间的关系165

2.6 自对称图形173

3 相似变换177

3.1 相似变换及其性质177

3.2 位似变换179

4 反演变换188

4.1 反演变换及其性质188

4.2 极点与极线203

习题三205

第四章 几何轨迹208

1 轨迹的有关概念208

1.1 轨迹的意义208

1.2 轨迹基本定理212

1.3 三种类型的轨迹题213

2.1 描迹法220

2 用综合法探求点的轨迹220

2.2 几何变换法226

2.3 条件代换法229

3 用解析法探求点的轨迹237

习题四244

第五章 几何作图247

1 几何作图基本知识247

1.1 作图工具与作图公法247

1.2 作图成法248

1.3 作图题的条件与分类249

1.4 解作图题的步骤250

2 常用的作图方法252

2.1 交轨法252

2.2 三角形奠基法257

2.3 变位法260

2.4 位似法264

2.5 反演法266

2.6 代数法268

3 尺规作图可能性的判断准则273

3.1 尺规作图的充分必要条件273

3.2 三次方程的根能否尺规作图的判定275

3.3 三大尺规作图不能问题276

3.4 尺规作图不能问题的判别方法277

习题五280

第六章 立体几何283

1 点、直线、平面284

2 简单多面体的欧拉公式294

3 面积与体积301

3.1 面积概念301

3.2 体积概念303

3.3 拟柱体与辛普生公式306

4.1 分解拼补法314

4 立体几何证题法314

4.2 命题转换法316

4.3 类比法319

4.4 体积法323

4.5 向量法323

5 四面体的度量公式326

6 多面角的概念与球面多边形的面积332

习题六337

第七章 球面几何342

1 距离、线段、角342

2 球面三角350

3 对偶原则356

4 图形相等与椭圆运动361

习题七364

第八章 双曲几何367

1 距离、线段、角370

2 双曲三角379

3 图形相等与双曲运动386

4 双曲几何模型391

4.1 克莱因模型391

4.2 庞卡莱模型395

习题八400

第九章 n 维欧氏几何简介403

1 距离、线段、凸集、变换404

2 超平面、凸多胞形409

3 单形的体积413

4 关于单形的射影定理、余弦定理和正弦定理422

5 关于单形的几何不等式427

6 重心坐标432

习题九440

习题答案和提示443