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序言1

第一章 复数1

第一节 复数的概念1

1.1 复数及其表示法1

编者的话3

1.2 复数的运算及几何意义6

习题1.116

第二节 平面的点集及区域17

习题1.223

第三节 序列与级数24

3.1 序列的极限24

3.2 矩形套定理 列紧性定理 覆盖定理28

3.3 复数球面 无空远点31

3.4 复数项级数33

习题1.338

第一章 小结39

第一章复习讨论题40

1.1 复变函数的概念43

第二章 解析函数43

第一节 复变函数43

1.2 复变函数的极限与连续45

习题2.153

第二节 解析函数的概念53

2.1 复变函数的导数53

2.2 解析函数及其性质56

习题2.260

第三节 柯西--黎曼方程60

习题2.368

第四节 初等解析函数68

习题2.480

第五节 调和函数80

习题2.585

第二章小结86

第二章 复习讨论题86

1.1 复变函数积分的概念90

第一节 复变函数的积分90

第三章 解析函数的积分理论90

1.2 复变函数积分的基本性质96

习题3.197

第二节 解析函数的柯西定理98

习题3.2110

第三节 原函数与不定积分110

习题3.3116

第四节 解析函数的柯西公式116

4.1 柯西公式116

4.2 高阶导数122

习题3.4128

第五节 解析函数的最大模原理129

习题3.5133

第三章小结134

第三章复习讨论题135

第一节 函数项级数及其基本性质138

1.1 函数项级数的收敛及一致收敛性138

1.2 幂级数148

习题4.1156

第二节 解析函数的泰勒级数展开157

2.1 圆内解析函数的泰勒级数展开157

2.2 施瓦兹公式及波阿松公式167

2.3 零点的孤立性及唯一性定理171

习题4.2175

3.1 环内解析函数的罗朗展开177

第四章 解析函数的级数展开177

第三节 解析函数的罗朗展开式177

3.2 解析函数在无穷元点的邻域中的展开182

习题4.3183

第四节 孤立奇点的分类及其性质184

4.1 有限点的情况184

4.2 无穷远点的情况193

习题4.4196

第五节 整函数与亚纯函数的概念与性质197

5.1 整函数的概念与性质197

5.2 亚纯函数的概念与性质202

第四章小结204

习题4.5204

第四章复习讨论题206

第五章 留数理论及其应用210

第一节 留数定理及留数的求法210

1.1 留数的概念210

1.2 留数定理213

1.3 留数的求法215

习题5.1219

第二节 利用解析函数的理论求定积分220

习题5.2237

第三节 幅角原理及其应用238

习题5.3246

第五章小结246

第五章复习讨论题247

第六章 解析开拓249

第一节 解析开拓的概念与方法249

1.1 解析开拓的概念249

1.2 解析开拓的具体方法256

习题6.1266

2.1 完全解析函数的概念267

第二节 完全解析函数与黎曼曲面267

2.2 黎曼曲面的概念272

习题6.2282

第三节 利用多值函数进行积分计算282

习题6.3292

第六章小结293

第六章复习讨论题293

1.1 解析函数所构成的变换295

第七章 解析函数的几何理论295

第一节 保形变换的概念及性质295

1.2 保形变换300

习题7.1305

第二节 分式线性变换306

2.1 分式线性变换在全平面上实现单叶保形变换306

2.2 分式线性变换的分解309

2.3 三对对应点唯一地决定分式线性变换312

2.4 分式线性变换的保圆性314

2.5 分式线性变换保持对称点的不变性320

2.6 几个曲型的分式线性变换323

习题7.2332

第三节 茹科夫斯基变换333

习题7.3341

第四节 几个初等函数实现的变换342

4.1 幂函数与根式函数实现的变换342

4.2 指数函数与对数函数实现的变换345

4.3 三角函数与反三角函数实现的变换348

习题7.4356

第五节 利用对称原理及边界对应定理进行单叶保形变换357

5.1 利用对称原理进行单叶保形变换357

5.2 利用边界对应定理进行单叶保形变换361

习题7.5368

第六节 上半平面到多角形的保形变换368

习题7.6384

第七节 黎曼存在及唯一性定理385

习题7.7392

第七章小结392

第七章复习讨论题393

第一节 含有参变量的积分397

第二节 拉普拉斯变换的概念401

习题8.2405

第三节 拉普拉斯变换的性质405

习题8.3416

第四节 拉普拉斯变换的逆变换416

第五节 拉普拉斯变换公式表432

第八章 拉普拉斯变换初步432

习题8.4432

习题8.5437

第六节 拉普拉斯变换在解微分方程中的应用437

6.1 用拉普拉斯变换解常微分方程437

6.2 用拉普拉斯变换解偏微分方程443

习题8.6444

第八章小结445

第八章复习讨论题446

第九章 解析函数在流体力学上的应用447

不可压缩流体平面稳定流动447