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第一部分 向量几何的课题1

第一章 欧几里得平面的向量代数3

？2中的点与距离3

向量、纯量、与长度5

？2中向量和与纯量倍6

平行与垂直向量9

两点间的几何向量10

第二章 欧几里得空间的向量代数14

？3中的点与距离14

向量、纯量、与长度16

空间的向量代数17

？3中二向量的夹角18

向量的点积20

第三章 ？2与？3中的直线的参数方程式25

过原点的直线的参数方程式25

过一所予点且有一已知方向向量的直线26

二直线的夹角28

线段、中点、与凸集合30

第四章 ？2与？3中线性方程式的轨迹35

？3中的一平面为一个线性方程式的轨迹35

？3中二平面的夹角38

第五章 平行四边形的面积与平行六面体的体积43

？2中二向量作成的平行四边形43

？2中平行四边形的面积以行列式表示45

？3中三向量作成的平行六面体47

平行六面体的体积以行列式表示48

第六章 推广至？n56

？n的向量与其代数56

？n中向量的夹角，以几何开始58

点积与席瓦兹不等式59

？n中的直线与超平面61

三角形不等式63

体积与行列式64

第二部分 矩阵的线性方程式69

第七章 矩阵与其代数71

矩阵的概念71

矩阵加法73

乘以纯量73

矩阵乘法74

矩阵运算的代数性77

一矩阵之转置矩阵79

第八章 线性方程组83

问题83

几何问题84

解线性方程组86

例题87

简化式的一分析92

第九章 可逆矩阵99

矩阵方程式与反矩阵97

可逆矩阵之反矩阵的计算99

第十章 可微分写像的亚可比矩阵108

多变数函数的导数108

可微分函数的微分109

方向导数110

坐标函数与亚可比矩阵112

微分公式以矩阵表出114

第三部 抽象代数之精选论题121

第十一章 半群123

定义与例题123

次群126

反元素127

第十二章 群132

定义与例题132

群（Zk，十k）133

消去律与方程式之解135

第十三章 乘法记号与加法记号138

第十四章 由所予群作新群142

群的子群142

群的交集与联合146

群的直积148

第十五章 群的同态152

结构关系写像152

同构154

同态存在的代数性质156

同态的核157

第十六章 群Sn162

群SA162

排列的乘法163

几何的应用165

循环167

排列的符号169

第十七章 环176

定义与例题176

三个「算术」性质179

环的形式180

子环183

第十八章 体188

体的基本性质188

子体190

布于体的矩阵线性方程组191

第十九章 环的同态197

定义与例题197

同态存在的代数性质199

同态的核200

第二十章 布于体的多项环204

多项式与其代数204

多项式的根208

第二十一章 布于任意体的向量空间213

外乘213

向量空间的概念214

向量空间的一些基本性质216

向量空间的直积217

空间Fn的几何218

第四部分 基础线性代数223

第二十二章 实向量空间225

向量空间的运算225

向量空间226

向量空间的一些基本性质228

第二十三章 子空间与线性组合233

子空间的定义与特性233

线性组合与子空间236

生成集合237

？n的子空间238

第二十四章 独立集合242

独立关系242

独立生成集合的存在248

第二十五章 基底与维255

基底255

维256

拓大一个独立集合为一组基底258

第二十六章 子空间的和；面264

子空间的和264

子空间的直和265

二子空间和的维266

面269

第二十七章 向量坐标化276

有序基底276

向量坐标化277

第二十八章 线性写像282

向量空间的同态282

线性写像284

线性写像的例题285

线性写像存在的一些代数性质287

向量空间的坐标化289

第二十九章 线性写像的坐标化295

线性写像关联于有序基底的矩阵295

由矩阵关联于有序基底获得线性写像299

线性写像应用坐标的计算302

第三十章 线性写像的代数309

？（V，V′）的代数结构309

合成线性写像与矩阵乘法313

第三十一章 基底的变换319

线性写像矩阵之变换对应于基底的变更319

相似矩阵320

第三十二章 可微分写像的局部近似325

局部坐标轴325

局部线性近似：单变数场合327

局部线性近似：多变数场合329

第三十三章 秩333

线性写像的秩333

矩阵的秩335

矩阵的列秩与行秩337

第三十四章 一般线性问题343

问题343

例题344

一般齐次线性问题之解空间的维346

应用于微分方程式348

第三十五章 特征值与对角线化352

特征值与特征向量352

特征值与特征向量的计算355

矩阵的对角线化357

应用于微分方程式362

第三十六章 行列式368

2阶与3阶的行列式的复习368

n阶行列式之定义370

行列式之性质374

高阶行列式之计算376

第三十七章 行列式理论381

行列式之交错定义381

行列式三基本性质的证明383

以子式展开387

第三十八章 行列式之两古典应用391

可逆矩阵的反矩阵391

克里默规则393

第三十九章 特征值与行列式397

特征多项式397

最低多项式398

凯雷汉米尔顿定理400

第五部分 线性代数的附加课题407

第四十章 约旦标准型与不变子空间409

动机409

约旦型410

应用至微分方程式417

不变子空间420

第四十一章 实向量空间之内积430

引言430

实向量空间的内积430

正交性与子空间432

正定值内积与模方433

席瓦兹与三角形不等式434

向量与纯量射影436

第四十二章 范数向量空间441

范数的定义441

由范数企图重述内积442

第四十三章 正交基底448

正交与正规直交基底448

关于有序正规直交基底的向量坐标449

万兰席密特程序450

正交子空间的馀453

第四十四章 单式写像与矩阵456

单式写像456

单式矩阵457

第四十五章 ？m中n-匣子之n-体积464

？m中n-匣子的概念463

？m中n-匣子的n-体积464

第四十六章 线性写像与体积473

线性写像下之体积变换因式473

可微分写像下之局部体积变换因式477

应用至积分479

附录 集合、写像、与关系487

集合487

写像490

关系494

奇数题的答案500

索引540