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1.1 基本概念和泰勒定理1

1.1.1 极限、连续性和导数1

目录1

译者序1

前言1

什么是数值分析1

第1章 数学预备知识1

1.0 概述1

1.1.2 泰勒定理4

1.1.3 泰勒公式的其他形式7

习题1.18

1.2.1 收敛序列10

1.2 收敛阶及相关基本概念10

1.2.3 大O和小o记号12

1.2.2 收敛阶12

1.2.5 嵌套乘法14

1.2.4 积分中值定理14

1.2.7 显函数与隐函数15

1.2.6 上界和下界15

习题1.217

1.3 差分方程20

计算机习题1.220

1.3.1 基本概念21

1.3.2 单根23

1.3.3 重根24

1.3.4 稳定的差分方程25

习题1.326

计算机习题1.327

2.1 浮点数和舍入误差29

2.0 概述29

第2章 计算机算术运算29

2.1.2 规格化的科学记数法30

2.1.1 舍入30

2.1.3 假想计算机Marc-3231

2.1.6 Fortran 90的内部过程33

2.1.5 机器舍入33

2.1.4 零，无穷大，非数字33

2.1.8 接近的机器数34

2.1.7 IEEE标准浮点算术运算34

2.1.9 浮点误差分析37

2.1.10 相对误差分析38

习题2.140

计算机习题2.142

2.2.1 有效位丢失43

2.2 绝对误差和相对误差：有效位丢失43

2.2.3 精度丢失44

2.2.2 几乎相等量的减法44

习题2.246

2.2.5 区间算术运算46

2.2.4 函数求值46

计算机习题2.248

2.3.1 数值的不稳定性50

2.3 稳定计算和不稳定计算：调节50

2.3.2 调节52

习题2.354

计算机习题2.355

3.0 概述57

第3章 非线性方程的解57

3.1 对分（区间减半）法58

3.1.1 对分算法59

3.1.2 误差分析61

习题3.162

3.2.1 牛顿算法63

3.2 牛顿法63

计算机习题3.163

3.2.2 图形解释64

3.2.3 误差分析65

3.2.4 隐函数67

3.2.5 非线性方程组68

习题3.270

计算机习题3.272

3.3 割线法73

3.3.1 割线算法74

3.3.2 误差分析75

习题3.377

3.4 不动点和函数迭代78

计算机习题3.378

习题3.483

3.5 求多项式的根85

3.5.1 霍纳算法88

3.5.2 贝尔斯托法92

3.5.3 拉盖尔迭代95

3.5.4 复牛顿法99

计算机习题3.5101

习题3.5101

3.6.1 基本概念102

3.6 同伦法和延拓法102

3.6.2 跟踪路径104

3.6.4 线性规划106

3.6.3 与牛顿法的关系106

习题3.6108

4.1 矩阵代数109

4.0 概述109

第4章 解线性方程组109

4.1.1 矩阵性质111

4.1.2 分块矩阵114

习题4.1115

计算机习题4.1116

4.2.1 容易求解的方程组117

4.2 LU分解和楚列斯基分解117

4.2.2 LU分解119

4.2.3 楚列斯基分解123

习题4.2125

4.3 选主元和构造算法128

计算机习题4.2128

4.3.1 基本的高斯消元法129

4.3.2 选主元132

4.3.3 行尺度主元高斯消元法134

4.3.5 分解PA＝LU136

4.3.4 全主元高斯消元法136

4.3.6 运算量138

4.3.7 对角占优矩阵139

4.3.8 三对角方程组141

习题4.3142

计算机习题4.3146

4.4.1 向量范数147

4.4 范数和误差分析147

4.4.2 矩阵范数148

4.4.3 条件数150

习题4.4151

4.5 诺伊曼级数和迭代细化155

计算机习题4.4155

4.5.1 迭代细化158

4.5.2 均衡化160

习题4.5161

4.6 用迭代法解方程组163

计算机习题4.5163

4.6.1 基本概念164

4.6.2 理查森方法166

4.6.3 雅可比方法167

4.6.4 分析168

4.6.5 高斯-赛德尔方法170

4.6.6 SOR方法172

4.6.7 迭代矩阵173

4.6.8 外推174

4.6.9 切比雪夫加速176

习题4.6180

4.7 最速下降法和共轭梯度法182

计算机习题4.6182

4.7.1 最速下降法184

4.7.2 共轭方向185

4.7.3 共轭梯度法186

4.7.4 预处理的共轭梯度法189

习题4.7192

4.8 高斯算法中的舍入误差分析193

计算机习题4.7193

习题4.8199

5.0 基本概念回顾201

第5章 数值线性代数精选201

5.1.1 幂法203

5.1 矩阵特征值问题：幂法203

5.1.2 算法204

5.1.3 艾特肯加速205

5.1.4 逆幂法206

习题5.1207

5.1.5 小结207

5.2 舒尔定理和Gershgorin定理209

计算机习题5.1209

5.2.1 舒尔分解210

5.2.2 特征值的定位212

习题5.2214

5.3.1 基本概念216

5.3 正交分解和最小二乘问题216

5.3.2 格拉姆-施密特过程217

5.3.3 修正的格拉姆-施密特算法218

5.3.4 最小二乘问题220

5.3.5 豪斯霍尔德QR分解221

习题5.3224

5.4 奇异值分解和广义逆227

计算机习题5.3227

5.4.1 广义逆229

5.4.2 不相容方程组和欠定方程组230

5.4.3 Penrose性质231

习题5.4234

5.5.1 QR分解236

5.5 特征值问题的弗朗西斯QR算法236

计算机习题5.4236

5.5.2 约化到上海森伯格形237

5.5.3 位移QR分解239

5.5.4 初等行运算和列运算241

习题5.5242

计算机习题5.5243

6.1.1 牛顿型插值多项式245

6.1 多项式插值245

第6章 函数逼近245

6.0 概述245

6.1.2 拉格朗日型插值多项式247

6.1.4 切比雪夫多项式250

6.1.3 多项式插值的误差250

6.1.5 选取结点252

6.1.6 插值多项式的收敛性253

习题6.1256

6.2 均差260

6.2.1 高阶均差261

6.2.2 均差的算法263

6.2.3 均差性质264

6.2.4 Hermite-Genocchi公式265

习题6.2266

6.3.1 基本概念268

6.3 埃尔米特插值268

计算机习题6.2268

6.3.2 牛顿均差方法270

6.3.3 拉格朗日型272

6.3.4 带重复结点的均差273

习题6.3275

6.4 样条插值276

6.4.1 三次样条277

6.4.2 张力样条282

6.4.3 高次自然样条的理论284

习题6.4286

计算机习题6.4289

6.5.1 0次B样条290

6.5 B样条：基本理论290

6.5.3 B样条的性质292

6.5.2 一次B样条292

6.5.4 数值计算过程293

6.5.5 B样条的导数和积分294

6.5.6 附加性质296

习题6.5297

6.6.1 空间Skn基299

6.6 B样条：应用299

计算机习题6.5299

6.6.2 插值矩阵300

6.6.3 存在性303

6.6.4 非插值逼近方法304

习题6.6306

6.6.5 函数到样条空间的距离306

6.7 泰勒级数307

计算机习题6.6307

习题6.7309

6.8 最佳逼近：最小二乘理论311

计算机习题6.7311

6.8.2 内积空间312

6.8.1 存在性312

6.8.3 正规方程314

6.8.4 标准正交系315

6.8.6 格拉姆-施密特过程316

6.8.5 广义毕达哥拉斯法则和贝塞尔不等式316

6.8.7 算法318

6.8.8 格拉姆矩阵319

习题6.8320

6.9 最佳逼近：切比雪夫理论321

6.9.1 刻画最佳逼近的特征322

6.9.2 凸性324

6.9.4 再论特征定理326

6.9.3 线性方程组的切比雪夫解326

6.9.5 哈尔子空间327

6.9.6 最佳逼近的唯一性328

6.9.7 切比雪夫交替定理329

6.9.8 算法330

习题6.9332

6.10.2 笛卡儿积和网格333

6.10.1 插值问题333

6.10 高维插值333

6.10.3 布尔和334

6.10.4 张量积336

6.10.5 几何图形337

6.10.6 牛顿格式339

6.10.7 Shepard插值340

6.10.8 三角剖分342

6.10.9 移动最小二乘法344

6.10.10 多重二次插值345

习题6.10346

6.11 连分式347

计算机习题6.10347

6.11.1 递归公式348

6.11.2 级数到连分式的转换350

习题6.11351

6.12.1 傅里叶级数353

6.12 三角插值353

计算机习题6.11353

6.12.2 复傅里叶级数354

6.12.3 内积，伪内积，伪范数355

6.12.4 指数多项式356

6.13 快速傅里叶变换357

习题6.12357

6.13.1 分析359

6.13.2 算法361

6.13.3 混淆现象和奈奎斯特频率362

6.13.4 计算指数多项式的值363

计算机习题6.13364

习题6.13364

6.14.2 算法365

6.14.1 一次样条365

6.14 自适应逼近365

6.14.3 一般情况368

计算机习题6.14369

习题6.14369

7.1.1 数值微分371

7.1 数值微分和理查森外推371

第7章 数值微分和数值积分371

7.1.2 通过多项式插值的微分374

7.1.3 理查森外推376

习题7.1380

计算机习题7.1381

7.2 基于插值的数值积分382

7.2.2 梯形法则383

7.2.1 通过多项式插值的积分383

7.2.4 辛普森法则385

7.2.3 待定系数法385

7.2.5 一般积分公式386

7.2.6 区间变换387

7.2.7 误差分析388

习题7.2389

7.3 高斯求积392

计算机习题7.2392

7.3.1 高斯求积公式393

7.3.2 收敛性和误差分析396

习题7.3397

7.4.1 递推梯形法则400

7.4 龙贝格积分400

计算机习题7.3400

7.4.3 分析402

7.4.2 龙贝格算法402

习题7.4404

7.5 自适应求积405

计算机习题7.4405

习题7.5408

计算机习题7.5409

7.6 逼近泛函的Sard定理410

7.7 伯努利多项式和欧拉-麦克劳林公式414

习题7.6414

习题7.7417

8.1.1 存在性419

8.1 解的存在性和唯一性419

第8章 常微分方程数值解419

8.0 概述419

8.1.2 唯一性420

习题8.1421

8.2 泰勒级数方法422

计算机习题8.1422

8.2.1 实例423

8.2.3 误差425

8.2.2 权衡利弊425

8.2.5 延迟微分方程426

8.2.4 欧拉方法426

习题8.2427

计算机习题8.2428

8.3.1 二阶龙格-库塔方法430

8.3 龙格-库塔方法430

8.3.2 四阶龙格-库塔方法432

8.3.3 误差433

8.3.4 自适应龙格-库塔-费尔贝格方法434

习题8.3436

计算机习题8.3437

8.4.1 亚当斯-巴什福思公式439

8.4 多步法439

8.4.2 亚当斯-莫尔顿公式440

8.4.3 线性多步法的分析441

习题8.4443

计算机习题8.4444

8.5.1 隐式／显式以及收敛方法445

8.5 局部误差和整体误差：稳定性445

8.5.2 稳定性和相容性446

8.5.4 局部截断误差447

8.5.3 米尔恩方法447

8.5.5 整体截断误差448

习题8.5450

8.6.1 向量记号451

8.6 方程组和高阶常微分方程451

8.6.2 方程组的泰勒级数方法453

8.6.3 方程组的其他方法454

习题8.6455

计算机习题8.6456

8.7 边值问题457

8.7.2 变量替换458

8.7.1 存在性458

习题8.7462

8.8 边值问题：打靶法464

8.8.2 线性函数465

8.8.1 割线法465

8.8.4 多重打靶467

8.8.3 牛顿方法467

8.8.5 二阶线性方程468

习题8.8469

计算机习题8.8470

8.9.2 线性情况471

8.9.1 二阶微分方程471

8.9 边值问题：有限差分法471

8.9.3 收敛性472

计算机习题8.9473

习题8.9473

8.10.1 施图姆-刘维尔边值问题474

8.10 边值问题：配置法474

8.10.2 三次B样条475

计算机习题8.10476

8.11.1 特征值和特征向量477

8.11 线性微分方程477

8.11.2 矩阵指数479

8.11.4 若尔当块480

8.11.3 对角阵和可对角化阵480

8.11.5 完全一般性解482

8.11.6 非齐次问题483

习题8.11485

8.12.1 欧拉方法486

8.12 刚性方程486

8.12.3 微分方程组487

8.12.2 修正的欧拉方法487

8.12.5 A稳定性488

8.12.4 一般的线性多步法488

8.12.6 绝对稳定性区域489

计算机习题8.12490

习题8.12490

8.12.7 非线性方程490

9.1.1 热传导方程491

9.1 抛物型方程：显式方法491

第9章 偏微分方程数值解491

9.0 概述491

9.1.2 有限差分法492

9.1.3 算法493

9.1.4 稳定性分析494

习题9.1496

9.1.5 稳定性分析：傅里叶方法496

9.2 抛物型方程：隐式方法497

计算机习题9.1497

9.2.1 算法498

9.2.2 克兰克-尼科尔森方法499

9.2.3 分析500

习题9.2501

9.2.4 小结501

9.3.2 有限差分502

9.3.1 狄利克雷问题502

计算机习题9.2502

9.3 定常问题：有限差分法502

9.3.3 算法504

习题9.3505

9.4.1 伽辽金法506

9.4 定常问题：伽辽金法506

计算机习题9.3506

9.4.2 狄利克雷问题507

9.4.4 瑞利-里茨方法509

9.4.3 泊松方程509

习题9.4511

9.4.5 有限元素法511

计算机习题9.4512

9.5 一阶偏微分方程：特征线法512

9.5.1 一阶方程组512

9.5.2 特征曲线513

9.5.3 特征曲线的一般理论514

习题9.5517

9.6 拟线性二阶方程：特征线法518

9.6.1 特征曲线518

9.6.2 分类519

9.6.3 算法520

9.6.4 另一种特征线法524

习题9.6525

计算机习题9.6525

9.7 双曲型问题的其他方法525

9.7.1 拉克斯-温德罗夫方法526

9.7.2 方程组527

9.7.3 温德罗夫隐式方法527

9.7.4 伽辽金法529

习题9.7530

9.8 多重网格方法531

9.8.1 作为说明的例子531

计算机习题9.7531

9.8.2 误差的阻尼533

9.8.3 分析534

9.8.4 限制和网格校正535

9.8.5 V循环算法536

9.8.6 运算量537

9.9 泊松方程的快速方法538

计算机习题9.8538

9.9.1 模型问题538

习题9.8538

9.9.2 快速傅里叶正弦变换539

9.9.3 附加的细节540

计算机习题9.9541

10.1 凸性和线性不等式543

10.1.1 基本概念543

第10章 线性规划及其相关论题543

10.1.2 凸集和凸包544

10.1.3 极值点546

习题10.1547

10.2 线性不等式548

10.2.1 齐次方程组549

10.2.2 线性不等式549

10.2.3 相容系统和不相容系统550

10.2.4 矩阵-向量形式551

习题10.2552

10.3 线性规划553

10.3.1 转换问题的方法553

10.3.2 对偶问题554

习题10.3556

10.4 单纯形法557

10.4.1 基本概念557

10.4.2 抽象形式558

10.4.3 表格法561

10.4.4 表格法则562

10.4.5 进一步说明562

10.4.6 小结563

10.4.7 工作量估计563

10.4.8 其他算法564

习题10.4564

第11章 最优化565

11.0 概述565

11.1 单变量情况566

习题11.1568

11.2 下降法568

习题11.2570

11.3 二次目标函数的分析571

11.4 二次拟合算法572

习题11.4573

11.5 Nelder-Mead算法573

11.6 模拟退火法574

11.7 遗传算法575

11.8 凸规划576

11.9 约束极小化577

11.10 帕雷托最优化577

习题11.10578

附录A 数学软件一览579

参考文献590

索引615