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第1章　数理逻辑1

1.1　命题逻辑的基本概念1

1.1.1　命题的形式表示与逻辑连接词1

1.1.2　逻辑表达式和等价式6

1.1.3　命题常元、命题变元和命题公式7

1.1.4　真值函数与真值表7

1.1.5　等价式和永真隐含式8

1.1.6　其他逻辑连接词12

1.1.7　逻辑连接词及其完备功能集14

1.1.8　对偶原理15

1.1.9　范式17

1.2　命题逻辑中的推理规则和证明方法22

1.2.1 自然推理22

1.2.2　证明方法24

1.2.3　形式逻辑中的一些主要定律在数理逻辑中的表示26

1.3　命题演算与公理系统28

1.3.1　公理系统的基本概念28

1.3.2　形式系统的基本概念29

1.3.3　公理系统的基本要求30

1.3.4　公理系统L31

1.3.5 自然推理与公理系统推理35

1.3.6　公理系统L的性质37

1.3.7　其他命题逻辑公理系统39

1.4　一阶谓词逻辑的基本概念41

1.4.1　谓词及其符号化表示42

1.4.2　量词与量化43

1.4.3 一阶语言∮和谓词演算44

1.4.4　变元的约束与辖域46

1.4.5　谓词公式的解释48

1.4.6　谓词演算中的等价式和永真隐含式50

1.4.7　前束范式53

1.5　谓词演算的推理规则与证明方法54

1.5.1 自然推理54

1.5.2　公理系统推理57

1.5.3　公理系统K58

1.5.4 K的合理性、一致性和完备性59

1.6 自动定理证明与消解原理61

1.6.1　概述62

1.6.2 Herbrand理论63

1.7 Robinson消解原理73

1.7.1　命题逻辑中的消解原理74

1.7.2　代换与合一算法76

1.7.3　合一算法在谓词逻辑消解原理中的应用78

1.7.4　删除策略79

1.7.5　消解方法80

1.8 Horn子句问题求解逻辑84

第2章　集合85

2.1　集合的基本概念和表示方法85

2.1.1　元素与集合之间的“属于”关系85

2.1.2　“概括性公理”与集合的描述法表示87

2.1.3　“外延性公理”与集合的相等87

2.1.4　集合之间的“包含”关系（？）88

2.1.5　集合的幂集89

2.2　集合的运算91

2.2.1　集合的“并”、“交”、“差”、“补”运算91

2.2.2　集合的环和、环积运算92

2.2.3　集合运算的Venn氏图表示93

2.2.4　集合的笛卡儿乘积和序偶93

2.2.5　基数的概念与包含排斥原理94

2.3　归纳定义与归纳证明97

2.3.1 自然数域上函数的递归定义98

2.3.2　构造性表达式的归纳定义99

2.3.3 自然数的归纳定义100

2.3.4 Peano公设101

2.4　归纳证明102

2.4.1　构造性表达式性质的证明102

2.4.2 自然数集合上表达式性质的证明103

2.4.3　数学归纳法第1推理规则104

2.4.4　数学归纳法第1推理规则的变形105

2.4.5　数学归纳法第2推理规则105

2.5 语言的“并置”运算、“幂”运算和“闭包”运算107

第3章　关系111

3.1　关系的基本概念111

3.1.1　关系及其数学定义111

3.1.2　二元关系112

3.1.3　关系矩阵和关系图114

3.2　关系的性质115

3.2.1　关系的性质116

3.2.2　有关关系性质的总结118

3.3　关系的复合运算121

3.3.1　复合运算的定义121

3.3.2　复合运算的图形表示121

3.3.3　用关系矩阵实现关系复合122

3.3.4　复合运算的性质124

3.4　关系的幂运算125

3.4.1　关系的幂运算125

3.4.2　用关系图实现幂运算125

3.5　逆关系及其性质126

3.5.1　逆关系126

3.5.2　逆关系的性质127

3.6　关系的闭包运算128

3.6.1　关系闭包的定义129

3.6.2　关系闭包的求法129

3.7　次序关系132

3.7.1　偏序集合的哈斯图表示133

3.7.2　偏序集合的特异元素134

3.7.3　偏序集合特异元素的一些定理135

3.7.4　线序集合和良序集合136

3.7.5　词典序和标准序137

3.7.6　拟序集合138

3.8　等价关系与划分138

3.8.1　等价关系138

3.8.2　等价类及其性质140

3.8.3　集合的覆盖与划分141

3.8.4　划分与等价关系142

3.9　相容关系143

第4章　函数145

4.1　基本概念145

4.1.1 函数的定义与相等146

4.1.2　函数诱导出的函数147

4.1.3 f:X→Y表达的是一类函数148

4.1.4　多元函数的表达149

4.1.5 函数的归纳定义与递归定义150

4.1.6　偏函数和函数的扩大与缩小153

4.1.7　函数的复合154

4.2　特殊函数类155

4.2.1　映射的基本概念155

4.2.2 几个常用的函数类157

4.3　逆函数161

4.4　置换163

4.5　运算164

第5章　无限集和基数169

5.1　无限集的基本概念169

5.2　可数集与不可数集172

5.3　不可数无限集及其基数175

5.4　基数的比较178

5.4.1　基数的相等与次序关系178

5.4.2　有关基数的一些定理180

5.5　无限集合的特性183

第6章　代数系统187

6.1　代数系统的组成与分类188

6.2　代数系统的公理189

6.3　代数运算的规则和特异元素190

6.4　子代数194

6.5　常见代数系统的实例194

6.6　代数系统的同构与同态197

6.6.1　同构的定义197

6.6.2　同构的例子200

6.6.3　同构的性质202

6.6.4　同态的定义204

6.6.5　同态的实例205

6.6.6　同态的性质206

6.7　同余关系211

6.8　商代数和积代数215

第7章　群、环和域221

7.1　半群和独异点221

7.1.1　半群和独异点的概念221

7.1.2　循环含幺半群和生成元223

7.1.3　半群和独异点的同态与同构226

7.2　群228

7.2.1　群的定义229

7.2.2　群的基本性质230

7.2.3　群的同态与同构233

7.2.4　置换群237

7.2.5　循环群240

7.2.6　子群的定义与判定242

7.2.7　子群的陪集与拉格朗日定理244

7.2.8　正规子群和商群248

7.3　环和域249

7.3.1　环的基本概念249

7.3.2　整环、体和域的基本概念252

7.3.3　子环与理想的基本概念255

第8章　格与布尔代数259

8.1　格是满足一定条件的偏序集合259

8.1.1 基本定义259

8.1.2　格的对偶性原理和基本性质262

8.1.3　“保交”、“保联”运算的性质263

8.2　格是满足一定公理的代数系统268

8.3　子格与格的积代数270

8.4　格的同态与同构272

8.5　特殊格274

8.5.1 有补格275

8.5.2　分配格276

8.5.3　有补分配格的性质278

8.6　布尔代数279

8.6.1　布尔代数的基本定义与性质279

8.6.2　子布尔代数281

8.6.3　布尔同态282

8.6.4　有限布尔代数的原子表示282

8.6.5　布尔代数的积代数286

8.6.6　布尔函数286

第9章 图论289

9.1　图的基本概念289

9.1.1 图的定义289

9.1.2　图论中的名词汇集及其解释290

9.1.3　结点的次数292

9.1.4　子图与图的同构293

9.2　路径和回路295

9.2.1　基本概念295

9.2.2　可达性与连通性的概念297

9.2.3　欧拉路径与欧拉循环299

9.2.4　哈密屯路径与哈密屯循环300

9.3　图的矩阵表示302

9.3.1　邻接矩阵302

9.3.2　矩阵运算303

9.3.3　可达性的矩阵运算305

9.4　平面图306

9.4.1　库拉托夫斯基定理306

9.4.2　欧拉公式307

9.5　二部图（偶图）309

9.6　树309

9.7　根树（有向树）311

9.7.1　根树的性质312

9.7.2　根树在语法分析中的应用313

9.7.3　根树在运算表达式表示中的应用313

9.7.4　根树在前缀码表示中的应用314

9.7.5　根树在搜索、决策和博弈问题中的应用315

9.8　支撑树和割集317

第10章　模型论浅述319

10.1　逻辑科学的发展概要319

10.2　数理逻辑的形成与发展319

10.2.1　从莱布尼兹到布尔320

10.2.2　数学公理化运动320

10.2.3　从罗素悖论到希尔伯特方案320

10.2.4　哥德尔不完全性定理322

10.3　模型论的发展历史322

10.4　模型论的研究内容323

10.5　模型论的研究方法326

10.5.1　一阶语言的语法327

10.5.2　一阶语言的语义329

参考文献332