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预篇 集合论提要1

一、记号1

前言1

二、集合·区间2

1.集合2

2.区间6

三、集合的运算7

1.子集·集合的相等7

2.并集与交集8

3.差集与余集9

四、二元关系及函数10

1.二元关系10

2.函数12

1.标号族16

五、标号族16

2.笛卡尔积17

3.集合的运算(续)19

六、等价关系与编序关系23

1.等价关系23

2.偏序关系·卓伦(Zorn)引理25

七、有限集与可数集·基数28

1.集合的对等28

2.有限集与无穷集29

3.可数集与不可数集30

4.基数或势32

习题35

一、度量空间38

1.n维欧几里得空间38

第一章 拓扑空间38

2.度量空间40

二、度量空间的开集·度量子空间44

1.开球·收敛点列44

2.度量子空间48

三、拓扑空间·拓扑的基与亚基49

1.开集公理50

2.拓扑的基与亚基53

四、一些重要的拓扑概念57

1.闭集与闭包57

2.聚点与导集60

3.领域·序列的收敛性62

4.点集的内部、外部与边界65

5.其他的一些拓扑概念66

五、连续函数68

1.度量空间到度量空间内的连续函数69

2.拓扑空间到拓扑空间内的连续函数70

3.函数的极限与连续性72

4.同胚与等距映射76

六、子空间·积空间·商空间79

1.集合上使一族函数都连续的最大与最小拓扑79

2.拓扑空间的子空间82

3.积空间83

4.函数的分支函数与函数的连续性89

5.商空间94

七、等价度量·度量积97

1.等价度量97

2.度量积99

1.实直线R的开集的结构104

八、实直线104

2.康托尔集107

习题111

第二章 连通性117

一、连通空间117

二、空间的分支·连通空间的积空间122

三、度量空间的完全性、凸性与连通性126

1.ε-链126

2.完全度量空间127

3.凸空间133

四、欧氏空间的连通集·连通空间上的连续实值函数136

习题142

一、T0与T1空间146

1.T0空间146

第三章 分离公理与可数性公理146

2.T1空间147

二、T2空间150

1.豪斯道夫(Hausdorff)空间150

2.豪斯道夫空间的性质151

三、第一可数性公理155

四、第二可数性公理·可分空间161

五、度量空间的完全有界性与可分性166

1.度量空间的有界集与完全有界集166

2.可分度量空间173

习题176

第四章 紧致性178

一、紧致空间与列紧空间178

1.紧致集178

2.列紧集182

3.豪斯道夫空间的紧致集与连续函数185

二、紧致空间族的积空间188

三、覆盖式与序列式列紧性·各种紧致性之间的关系191

1.覆盖式列紧空间192

2.序列式列紧空间194

四、局部紧致性197

五、紧致度量空间·函数的一致连续性201

1.紧致度量空间与度量空间的紧致集201

2.紧致度量空间的连通性201

3.勒贝格引理·函数的一致连续性205

六、欧氏空间的紧致集与紧致空间上的连续实值函数209

习题217

1.定义及举例221

一、正则空间221

第五章 正则性与正规性·度量化定理221

2.正则空间的性质224

二、正规空间·覆盖的可收缩性226

1.定义及举例226

2.正规空间的性质229

3.覆盖的可收缩性230

三、正规空间上的连续实值函数233

四、完全正规空间244

五、度量化定理248

1.希尔伯特(Hilbert)方体248

2.度量化定理253

习题255

附录 关于势的可比较性的证明256

索引258