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第一章 基本概念1

1 引入常微分方程的几个实例1

习题一7

2 常微分方程的一些基本概念7

2.1 方程的阶，线性方程和非线性方程7

2.2 方程的解，初值条件，特解和通解9

2.3 线素场——方程的几何意义12

习题二16

本章小结17

复习题18

第二章 初等积分法20

1 变量分离的方程，齐次方程20

1.1 变量分离的方程20

1.2 齐次方程25

习题一29

2 一阶线性方程，伯努利方程30

2.1 一阶线性方程与常数变易法30

2.2 伯努利方程37

习题二38

3 全微分方程，积分因子40

3.1 微分方程与线素场概念的扩充40

3.2 全微分方程43

3.3 积分因子51

习题三57

4 一阶显式方程的解法综合举例57

习题四66

5 一阶隐式方程66

5.1 可解出dy/dx的方程66

5.2 克莱罗方程70

5.3 奇解75

5.4 y=？（x,dy/dx）型方程和x=ψ（y,dy/dx）型方程的解法举例76

习题五80

6 几种可降阶的二阶方程81

6.1 d2y/dx2=f（x）型方程81

6.2 d2y/dx2=f（x,dy/dx）型方程82

6.3 d2y/dx2=f（y,dy/dx）型方程84

习题六86

7 应用实例86

习题七96

本章小结96

复习题97

第三章 一阶微分方程的基本理论100

1 初值问题解的存在唯一性100

1.1 毕卡逐次逼近法与存在唯一性定理100

1.2 初值问题解的存在性和唯一性的讨论116

习题一121

2 解的延展121

2.1 延展的概念121

2.2 延展定理126

2.3 贝尔曼不等式引理131

2.4 非局部存在性定理133

习题二136

3 解对初值和解对参数的连续依赖性和可微性137

3.1 解对初值的连续依赖性定理137

3.2 解对初值的可微性定理145

3.3 解对参数的连续依赖性和可微性定理148

习题三150

本章小结151

复习题152

第四章 线性微分方程155

1 线性微分方程的一般理论155

1.1 初值问题解的存在唯一性定理的叙述155

1.2 齐次线性方程的通解结构的基本理论157

1.3 非齐次线性方程的通解结构166

习题一171

2 常系数齐次线性方程的解法173

2.1 特征方程的根都是单根的情形174

2.2 一般情形180

习题二186

3 常系数非齐次线性方程的解法187

3.1 f(x)=Pm(x)eμx的情形188

3.2 f(x)=Pm(x)eμx cosvx和f(x)=Pm(x)eμx sinvx的情形195

习题三199

4 变系数线性方程199

4.1 求非齐次线性方程解的常数变易法199

4.2 欧拉方程206

4.3 幂级数解法举例208

习题四216

5 回路振荡217

习题五221

本章小结221

复习题223

第五章 常微分方程组225

1 预备知识225

1.1 矩阵函数与向量函数225

1.2 矩阵和向量的模229

1.3 矩阵函数级数和向量函数级数232

习题一236

2 微分方程组的一般理论237

2.1 微分方程组的一般概念237

2.2 一阶方程组的解的基本理论242

习题二243

3 线性微分方程组的一般理论245

3.1 一阶齐次线性方程组的解的理论246

3.2 一阶非齐次线性方程组的解的理论与常数变易法259

习题三267

4 常系数线性方程组的解法269

4.1 eAt270

4.2 特征方程的根都是单根的情形274

4.3 一般情形281

4.4 常系数非齐次线性方程组的解法301

习题四301

本章小结303

复习题305

第六章 定性理论与稳定性理论初步307

1 二维自治系统与相平面307

习题一316

2 平面奇点317

2.1 二维线性系统的轨线分布318

2.2 二维非线性系统在奇点邻域内轨线的分布329

习题二335

3 极限环336

习题三339

4 李雅普诺夫稳定性340

4.1 稳定性概念340

4.2 一次近似理论345

习题四356

5 自治系统的李雅普诺夫第二方法358

习题五366

本章小结367

复习题369

第七章 一阶偏微分方程371

1 一阶常微分方程组的首次积分371

习题一389

2 一阶线性齐次偏微分方程390

习题二396

3 一阶拟线性偏微分方程396

习题三410

本章小结411

复习题412

总复习题413

习题答案419

索引440