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第1章 预备知识1

1.1 微积分回顾1

1.1.1 极限和连续性1

1.1.2 可微函数2

1.1.3 积分4

1.1.4 级数5

1.1.5 多项式求值6

1.1.6 习题7

1.2 二进制数9

1.2.1 二进制数9

1.2.2 序列与级数10

1.2.3 二进制分数12

1.2.4 二进制移位13

1.2.5 科学计数法13

1.2.6 机器数13

1.2.7 计算机精度14

1.2.8 计算机浮点数15

1.2.9 习题15

1.3 误差分析17

1.3.1 截断误差18

1.3.2 舍入误差18

1.3.3 舍去和舍入19

1.3.4 精度损失19

1.3.5 O（hn）阶逼近20

1.3.6 序列的收敛阶23

1.3.7 误差传播23

1.3.8 数据的不确定性26

1.3.9 习题26

1.3.10 算法与程序28

第2章 非线性方程f（x）＝0的解法29

2.1 求解x＝g（x）的迭代法29

2.1.1 寻找不动点30

2.1.2 不动点迭代的图形解释33

2.1.3 考虑绝对误差和相对误差34

2.1.4 习题35

2.1.5 算法与程序36

2.2 定位一个根的分类方法36

2.2.1 波尔查诺二分法38

2.2.2 试值法的收敛性41

2.2.3 习题43

2.2.4 算法与程序44

2.3 初始近似值和收敛判定准则44

2.3.1 检测收敛性46

2.3.2 有问题的函数47

2.3.3 习题48

2.3.4 算法与程序49

2.4 牛顿－拉夫森法和割线法49

2.4.1 求根的斜率法49

2.4.2 被零除错误52

2.4.3 收敛速度53

2.4.4 缺陷54

2.4.5 割线法56

2.4.6 加速收敛57

2.4.7 习题59

2.4.8 算法与程序61

2.5 埃特金过程、斯蒂芬森法和米勒法（选读）62

2.5.1 埃特金过程62

2.5.2 米勒法64

2.5.3 方法之间的比较65

2.5.4 习题68

2.5.5 算法与程序70

第3章 线性方程组AX＝B的数值解法71

3.1 向量和矩阵简介71

3.1.1 矩阵和二维数组73

3.1.2 习题76

3.2 向量和矩阵的性质77

3.2.1 矩阵乘78

3.2.2 特殊矩阵79

3.2.3 非奇异矩阵的逆79

3.2.4 行列式79

3.2.5 平面旋转81

3.2.6 MATLAB实现82

3.2.7 习题83

3.2.8 算法与程序84

3.3 上三角线性方程组85

3.3.1 习题87

3.3.2 算法与程序88

3.4 高斯消去法和选主元88

3.4.1 选主元以避免a？＝093

3.4.2 选主元以减少误差93

3.4.3 病态情况94

3.4.4 MATLAB实现95

3.4.5 习题97

3.4.6 算法与程序98

3.5 三角分解法99

3.5.1 线性方程组的解100

3.5.2 三角分解法101

3.5.3 计算复杂性104

3.5.4 置换矩阵105

3.5.5 扩展高斯消去过程106

3.5.6 MATLAB实现106

3.5.7 习题108

3.5.8 算法与程序109

3.6 求解线性方程组的迭代法111

3.6.1 雅可比迭代111

3.6.2 高斯－赛德尔迭代法113

3.6.3 收敛性115

3.6.4 习题117

3.6.5 算法与程序117

3.7 非线性方程组的迭代法：赛德尔法和牛顿法（选读）119

3.7.1 理论120

3.7.2 广义微分121

3.7.3 接近不动点处的收敛性122

3.7.4 赛德尔迭代123

3.7.5 求解非线性方程组的牛顿法124

3.7.6 牛顿法概要125

3.7.7 MATLAB实现126

3.7.8 习题128

3.7.9 算法与程序130

第4章 插值与多项式逼近132

4.1 泰勒级数和函数计算132

4.1.1 多项式计算方法136

4.1.2 习题137

4.1.3 算法与程序139

4.2 插值介绍140

4.2.1 习题144

4.2.2 算法与程序144

4.3 拉格朗日逼近145

4.3.1 误差项和误差界148

4.3.2 精度与O（hN+1）150

4.3.3 MATLAB实现151

4.3.4 习题153

4.3.5 算法与程序154

4.4 牛顿多项式154

4.4.1 嵌套乘法155

4.4.2 多项式逼近、节点和中心156

4.4.3 习题160

4.4.4 算法与程序161

4.5 切比雪夫多项式（选读）162

4.5.1 切比雪夫多项式性质162

4.5.2 最小上界163

4.5.3 等距节点164

4.5.4 切比雪夫节点164

4.5.5 龙格现象165

4.5.6 区间变换166

4.5.7 正交性167

4.5.8 MATLAB实现168

4.5.9 习题169

4.5.10 算法与程序170

4.6 帕德逼近170

4.6.1 连分式172

4.6.2 习题174

4.6.3 算法与程序175

第5章 曲线拟合177

5.1 最小二乘拟合曲线177

5.1.1 求最小二乘曲线178

5.1.2 幂函数拟合y＝AxM180

5.1.3 习题181

5.1.4 算法与程序183

5.2 曲线拟合184

5.2.1 y＝CeAx的线性化方法184

5.2.2 求解y＝CeAx的非线性最小二乘法185

5.2.3 数据线性化变换187

5.2.4 线性最小二乘法188

5.2.5 矩阵公式189

5.2.6 多项式拟合190

5.2.7 多项式摆动191

5.2.8 习题192

5.2.9 算法与程序195

5.3 样条函数插值195

5.3.1 分段线性插值195

5.3.2 分段三次样条曲线196

5.3.3 三次样条的存在性197

5.3.4 构造三次样条198

5.3.5 端点约束199

5.3.6 三次样条曲线的适宜性203

5.3.7 习题205

5.3.8 算法与程序207

5.4 傅里叶级数和三角多项式208

5.4.1 三角多项式逼近212

5.4.2 习题214

5.4.3 算法与程序215

5.5 贝塞尔曲线216

5.5.1 伯恩斯坦多项式的性质216

5.5.2 贝塞尔曲线的性质218

5.5.3 习题221

5.5.4 算法与程序222

第6章 数值微分223

6.1 导数的近似值223

6.1.1 差商的极限223

6.1.2 中心差分公式224

6.1.3 误差分析和步长优化227

6.1.4 理查森外推法230

6.1.5 习题232

6.1.6 算法与程序235

6.2 数值差分公式236

6.2.1 更多的中心差分公式236

6.2.2 误差分析237

6.2.3 拉格朗日多项式微分239

6.2.4 牛顿多项式微分241

6.2.5 习题243

6.2.6 算法与程序244

第7章 数值积分245

7.1 积分简介245

7.1.1 习题251

7.2 组合梯形公式和辛普森公式253

7.2.1 误差分析255

7.2.2 习题260

7.2.3 算法与程序262

7.3 递归公式与龙贝格积分263

7.3.1 龙贝格积分266

7.3.2 习题271

7.3.3 算法与程序273

7.4 自适应积分273

7.4.1 区间细分274

7.4.2 精度测试274

7.4.3 算法与程序278

7.5 高斯－勒让德积分（选读）278

7.5.1 习题283

7.5.2 算法与程序284

第8章 数值优化285

8.1 单变量函数的极小值285

8.1.1 分类搜索方法286

8.1.2 利用导数求极小值291

8.1.3 习题298

8.1.4 算法与程序300

8.2 内德－米德方法和鲍威尔方法300

8.2.1 内德-米德方法301

8.2.2 鲍威尔方法304

8.2.3 习题309

8.2.4 算法与程序310

8.3 梯度和牛顿方法310

8.3.1 最速下降法（梯度方法）310

8.3.2 牛顿方法312

8.3.3 习题318

8.3.4 算法与程序318

第9章 微分方程求解319

9.1 微分方程导论319

9.1.1 初值问题320

9.1.2 几何解释321

9.1.3 习题322

9.2 欧拉方法323

9.2.1 几何描述325

9.2.2 步长与误差325

9.2.3 习题328

9.2.4 算法与程序329

9.3 休恩方法330

9.3.1 步长与误差331

9.3.2 习题334

9.3.3 算法与程序334

9.4 泰勒级数法335

9.4.1 习题339

9.4.2 算法与程序339

9.5 龙格－库塔方法340

9.5.1 关于该方法的讨论341

9.5.2 步长与误差342

9.5.3 N＝2的龙格－库塔方法344

9.5.4 龙格－库塔－费尔伯格方法345

9.5.5 习题349

9.5.6 算法与程序350

9.6 预报－校正方法351

9.6.1 亚当斯－巴什福斯－莫尔顿方法352

9.6.2 误差估计与校正352

9.6.3 实际考虑353

9.6.4 米尔恩－辛普森方法353

9.6.5 误差估计与校正354

9.6.6 正确的步长355

9.6.7 习题359

9.6.8 算法与程序361

9.7 微分方程组361

9.7.1 数值解362

9.7.2 高阶微分方程363

9.7.3 习题364

9.7.4 算法与程序366

9.8 边值问题368

9.8.1 分解为两个初值问题：线性打靶法369

9.8.2 习题372

9.8.3 算法与程序373

9.9 有限差分方法373

9.9.1 习题378

9.9.2 算法与程序379

第10章 偏微分方程数值解380

10.1 双曲型方程381

10.1.1 波动方程381

10.1.2 差分公式382

10.1.3 初始值383

10.1.4 达朗贝尔方法383

10.1.5 给定的两个确定行384

10.1.6 习题387

10.1.7 算法与程序388

10.2 抛物型方程388

10.2.1 热传导方程388

10.2.2 差分公式388

10.2.3 克兰克－尼科尔森法391

10.2.4 习题395

10.2.5 算法与程序395

10.3 椭圆型方程396

10.3.1 拉普拉斯差分方程396

10.3.2 建立线性方程组397

10.3.3 导数边界条件399

10.3.4 迭代方法400

10.3.5 泊松方程和亥姆霍茨方程403

10.3.6 改进404

10.3.7 习题405

10.3.8 算法与程序406

第11章 特征值与特征向量407

11.1 齐次方程组：特征值问题407

11.1.1 背景407

11.1.2 特征值409

11.1.3 对角化412

11.1.4 对称性的优势413

11.1.5 特征值范围估计414

11.1.6 方法综述415

11.1.7 习题415

11.2 幂方法416

11.2.1 收敛速度419

11.2.2 移位反幂法419

11.2.3 习题423

11.2.4 算法与程序424

11.3 雅可比方法425

11.3.1 平面旋转变换425

11.3.2 相似和正交变换426

11.3.3 雅可比变换序列426

11.3.4 一般步骤427

11.3.5 使dpq和dqp为零428

11.3.6 一般步骤小结429

11.3.7 修正矩阵的特征值429

11.3.8 消去apq的策略430

11.3.9 习题432

11.3.10 算法与程序433

11.4 对称矩阵的特征值434

11.4.1 Householder法434

11.4.2 Householder变换436

11.4.3 三角形式归约438

11.4.4 QR法439

11.4.5 加速移位440

11.4.6 习题443

11.4.7 算法与程序443

附录A MATLAB简介445

部分习题答案451

中英文术语对照473