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第1章 函数1

本章学习目标1

1.1 函数及其性质1

1.1.1 函数的概念1

1.1.2 函数的几种特性2

习题1.13

1.2.3 初等函数4

1.2.2 复合函数4

1.2.1 基本初等函数4

1.2 初等函数4

1.2.4 反函数与隐函数5

习题1.26

本章小结6

复习题17

自测题17

2.1.1 数列的极限8

2.1 极限的概念8

本章学习目标8

第2章 极限与连续8

2.1.2 函数的极限9

2.1.3 极限的性质11

2.1.4 无穷小量与无穷大量11

习题2.112

2.2 极限的运算13

2.2.1 极限的运算法则13

2.2.2 两个重要极限14

2.2.3 无穷小的比较16

习题2.217

2.3 函数的连续性18

2.3.1 函数的连续性概念18

2.3.2 初等函数的连续性21

2.3.3 闭区间上连续函数的性质21

习题2.322

本章小结22

自测题223

复习题223

第3章 导数与微分25

本章学习目标25

3.1 导数的概念25

3.1.1 导数概念的引例25

3.1.2 导数的概念与几何意义26

3.1.3 可导与连续的关系29

习题3.129

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则30

3.2 求导法则30

3.2.2 复合函数的导数32

3.2.3 反函数的求导法则32

3.2.4 初等函数的导数33

3.2.5 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数35

3.2.6 高阶导数36

习题3.237

3.3 微分37

3.3.1 微分的概念37

3.3.3 微分的运算法则39

3.3.2 微分的几何意义39

3.3.4 微分在近似计算中的应用40

习题3.341

本章小结42

复习题342

自测题343

4.1 微分中值定理44

4.1.2 拉格朗日中值定理44

4.1.1 罗尔中值定理44

本章学习目标44

第4章 导数的应用44

习题4.145

4.2 洛必达法则46

习题4.248

4.3 函数的单调性、极值和最值48

4.3.1 函数的单调性48

4.3.2 函数的极值49

4.3.3 函数的最大值和最小值51

4.4 曲线的凹凸性与拐点53

习题4.353

习题4.455

4.5 函数图形的描绘55

习题4.556

4.6 曲率56

4.6.1 曲率的概念57

4.6.2 弧微分57

4.6.3 曲率的计算公式57

本章小结58

复习题459

自测题460

第5章 不定积分61

本章学习目标61

5.1 不定积分的概念与性质61

5.1.1 不定积分的概念61

5.1.2 基本积分公式63

5.1.3 不定积分的性质64

习题5.165

5.2.1 第一类换元积分法(凑微分法)66

5.2 不定积分的积分方法66

5.2.2 第二类换元积分法68

5.2.3 分部积分法70

5.2.4 单有理函数的积分72

5.2.5 积分表的使用75

习题5.275

本章小结77

复习题577

测试题578

6.1 定积分的概念与性质79

6.1.1 引出定积分概念的实例79

第6章 定积分79

本章学习目标79

6.1.2 定积分的概念81

6.1.3 定积分的几何意义82

6.1.4 定积分的基本性质82

习题6.184

6.2.1 变上限的定积分85

6.2 定积分基本公式85

6.2.2 微积分学基本定理86

习题6.287

6.3 定积分的积分方法88

6.3.1 定积分的换元积分法88

6.3.2 定积分的分部积分法91

习题6.393

6.4 广义积分93

6.4.1 无穷区间上的积分94

6.4.2 无界函数的积分95

习题6.497

本章小结97

复习题698

自测题699

第7章 定积分的应用100

本章学习目标100

7.1 定积分的几何应用100

7.1.1 定积分的微元法100

7.1.2 用定积分求平面图形的面积101

7.1.3 用定积分求体积104

7.1.4 平面曲线的弧长107

习题7.1108

7.2 定积分在物理学中的应用108

7.2.1 功108

7.2.2 液体的压力109

习题7.2110

本章小结110

复习题7111

自测题7112

第8章 常微分方程114

本章学习目标114

8.1 常微分方程的基本概念114

习题8.1116

8.2 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程116

8.2.1 可分离变量的微分方程116

8.2.2 齐次型微分方程118

8.2.3 一阶线性微分方程119

8.2.4 可降阶的高阶微分方程120

习题8.2122

8.3 二阶常系数线性微分方程123

8.3.1 二阶线性微分方程解的结构123

8.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法125

8.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法126

习题8.3130

8.4 微分方程的应用130

8.4.1 一阶微分方程的应用131

8.4.2 二阶微分方程的应用132

习题8.4134

本章小结134

复习题8135

测试题8135

第9章 空间解析几何与向量代数136

本章学习目标136

9.1 空间直角坐标系与向量的概念136

9.1.1 空间直角坐标系136

9.1.2 向量的概念及其线性运算138

9.1.3 向量的坐标表示140

习题9.1141

9.2 向量的数量积与向量积142

9.2.1 向量的数量积142

9.2.2 向量的向量积143

习题9.2145

9.3 平面与直线145

9.3.1 平面的方程145

9.3.2 直线的方程149

9.3.3 平面、直线的位置关系150

习题9.3152

9.4 曲面与空间曲线153

9.4.1 曲面方程的概念153

9.4.2 球面153

9.4.3 柱面154

9.4.4 旋转曲面155

9.4.5 几种常见的二次曲面156

9.4.6 空间曲线160

习题9.4162

本章小结163

复习题9163

测试题9164

第10章 多元函数微分学166

本章学习目标166

10.1 多元函数的概念、极限与连续166

10.1.1 多元函数的概念166

10.1.2 二元函数的极限与连续168

习题10.1170

10.2 偏导数170

10.2.1 偏导数170

10.2.2 高阶偏导数172

习题10.2173

10.3 全微分174

10.3.1 全微分的定义174

10.3.2 全微分在近似计算中的应用175

习题10.3176

10.4 多元复合函数与隐函数的微分法177

10.4.1 多元复合函数的微分177

10.4.2 隐函数微分法179

习题10.4180

10.5 偏导数在几何上的应用181

10.5.1 空间曲线的切线与法平面181

10.5.2 曲面的切平面与法线182

10.6.1 二元函数的极值184

10.6 二元函数的极值184

习题10.5184

10.6.2 二元函数的最大值与最小值185

10.6.3 条件极值186

习题10.6187

本章小结188

复习题10188

自测题10189

11.1 二重积分的概念与性质190

11.1.1 二重积分的概念190

本章学习目标190

第11章 多元函数积分学190

11.1.2 二重积分的几何意义193

11.1.3 二重积分的性质193

习题11.1194

11.2 二重积分的计算195

11.2.1 在直角坐标系下计算二重积分195

11.2.2 利用极坐标计算二重积分197

习题11.2199

11.3 二重积分的应用200

11.3.1 求空间立体的体积200

11.3.2 求曲面的面积202

11.3.3 求平面薄片的重心202

习题11.3203

本章小结203

复习题11204

测试题11205

12.1.1 无穷级数的概念206

12.1 无穷级数的概念与性质206

第12章 级数206

本章学习目标206

12.1.2 无穷级数的性质207

习题12.1208

12.2 正项级数及其敛散性209

12.2.1 正项级数及其收敛的充要条件209

12.2.2 正项级数收敛的比较判别法209

12.2.3 正项级数收敛的比值判别法210

习题12.2211

12.3 绝对收敛与条件收敛211

12.3.1 交错级数及其敛散性211

12.3.2 绝对收敛与条件收敛212

习题12.3213

12.4 幂级数214

12.4.1 幂级数的收敛半径与收敛域214

12.4.2 幂级数的运算216

习题12.4217

12.5.1 泰勒公式218

12.5 函数展开成幂级数218

12.5.2 初等函数的幂级数展开式219

12.5.3 幂级数的应用220

习题12.5222

12.6 傅立叶级数222

12.6.1 三角函数系的正交性222

12.6.2 以2π为周期的函数f(x)展开成傅立叶(Fourier)级数223

本章小结225

12.6.3 以2L为周期的函数f(x)展开成傅立叶级数225

复习题12227

测试题12228

第13章 Mathematica数学软件简介229

本章学习目标229

13.1 Mathematica基础229

13.1.1 Mathematica的主要特点和功能229

13.1.2 数、变量、函数230

13.2.1 化简计算结果232

13.2.2 常用的因式分解函数232

13.2 代数运算232

13.3 微积分233

13.3.1 求极限233

13.3.2 求导数234

13.3.3 求极值235

13.3.4 求不定积分235

13.3.5 求定积分236

13.3.6 解常微分方程236

13.3.7 无穷级数237

14.1 二维图形238

14.1.1 一元函数的图形238

第14章 利用Mathematica作图238

本章学习目标238

14.1.2 二维参数图形240

14.2 三维图形241

14.2.1 二元函数的图形241

14.2.2 三维参数图形242

附录 积分表246

习题参考答案252

参考文献264