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第1章 行列式1

1.1 二阶与三阶行列式1

1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式1

1.1.2 三阶行列式2

1.2 全排列及逆序数4

1.3 n阶行列式的定义5

1.4 行列式的性质8

1.5 行列式按行列展开法则13

1.6 克拉默法则18

习题一21

第2章 矩阵及其运算23

2.1 矩阵23

2.1.1 矩阵的概念23

2.1.2 特殊矩阵24

2.2 矩阵的运算24

2.2.1 矩阵的加法25

2.2.2 矩阵的数乘25

2.2.3 矩阵的乘法26

2.2.4 方阵的幂28

2.2.5 矩阵的转置29

2.2.6 方阵的行列式30

2.3 矩阵的逆31

2.3.1 逆矩阵的概念31

2.3.2 可逆矩阵的条件31

2.3.3 可逆矩阵的性质32

2.3.4 求可逆矩阵的方法32

2.3.5 可逆矩阵的应用34

2.4 分块矩阵34

2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵38

2.5.1 矩阵的初等变换38

2.5.2 初等矩阵的概念及性质42

2.5.3 初等矩阵的作用43

2.5.4 初等矩阵的应用44

2.6 矩阵的秩47

2.6.1 矩阵秩的概念47

2.6.2 矩阵秩的求法48

2.6.3 矩阵秩的性质50

2.7 线性方程组的解50

习题二55

第3章 向量组的线性相关性58

3.1 n维向量的概念58

3.1.1 n维向量58

3.1.2 向量组59

3.2 向量组的线性组合60

3.3 向量组的线性相关性63

3.3.1 线性相关性概念64

3.3.2 线性相关性的判定65

3.3.3 向量组线性相关性的有关理论66

3.4 向量组的秩67

3.4.1 极大线性无关向量组68

3.4.2 矩阵与向量组秩的关系68

3.4.3 向量组秩的一些简单结论70

3.5 向量空间71

习题三73

第4章 线性方程组解的结构74

4.1 齐次线性方程组解的结构74

4.2 非齐次线性方程组解的结构80

习题四84

第5章 相似矩阵及二次型86

5.1 预备知识86

5.1.1 向量的内积86

5.1.2 向量的长度及夹角86

5.1.3 正交向量组的概念及求法87

5.1.4 正交矩阵与正交变换89

5.2 方阵的特征值与特征向量90

5.2.1 特征值与特征向量的概念90

5.2.2 特征值与特征向量的求法91

5.2.3 特征值与特征向量的性质93

5.3 相似矩阵94

5.3.1 相似矩阵的概念94

5.3.2 相似矩阵的性质94

5.3.3 矩阵相似对角化的条件95

5.4 对称矩阵的对角化98

5.5 二次型及其标准形101

5.5.1 二次型及其矩阵形式102

5.5.2 线性变化下的二次型103

5.5.3 矩阵的合同103

5.6 化二次型为标准形104

5.6.1 正交变换法104

5.6.2 配方法107

5.7 正定二次型109

5.7.1 惯性定理109

5.7.2 正定二次型的概念109

5.7.3 正定二次型的判定110

习题五112

参考文献114

习题参考答案115