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第一篇　分析引论1

第一章　集合与映射1

第一节　集合及其运算1

1.1　集合的概念与记号1

1.2　集合的运算2

1.3　集合的运算法则3

1.4　乘积集4

习题1.14

第二节　实数集及其完备性5

2.1　实数集的性质与不等式5

2.2　常量和变量6

2.3　区间和邻域7

2.4　实数集的完备性与确界公理7

习题1.29

第三节　映射与函数10

3.1　映射概念及相关问题10

3.2　函数概念及其运算12

3.3　函数的几种特性18

3.4　函数应用举例19

习题1.322

第二章　极限25

第一节　无穷小量与无穷大量25

1.1　无穷小量与无穷大量的概念26

1.2　无穷小量与无穷大量的运算28

习题2.130

第二节　变量的极限及其性质32

2.1　变量的极限概念32

2.2　函数的极限32

2.3　变量极限的性质36

习题2.237

第三节　极限的运算法则39

3.1 四则运算法则39

3.2　夹逼法则42

3.3　极限？43

3.4　复合运算法则43

习题2.345

第四节　单调有界原理与无理数e47

4.1　单调有界原理47

4.2　极限？49

习题2.451

第五节　无穷小量的阶52

5.1　无穷小量的阶52

5.2　利用无穷小量等价代换求极限52

习题2.553

第六节　极限应用举例54

习题2.659

第三章　连续函数61

第一节　函数的连续性61

1.1　函数连续的概念61

1.2　函数的间断点及其分类63

习题3.164

第二节　连续函数的运算与初等函数的连续性65

2.1　连续函数的和、差、积、商的连续性65

2.2　反函数的连续性66

2.3　复合函数的连续性66

2.4　初等函数的连续性66

2.5　利用初等函数的连续性求极限67

习题3.268

第三节 闭区间上连续函数的性质69

3.1 闭区间上连续函数的有界性与最值性质69

3.2　闭区间上连续函数的介值性质71

习题3.373

第四章　常数项级数74

第一节　数项级数的概念与性质74

1.1　数项级数的概念74

1.2　数项级数的性质77

习题4.178

第二节　正项级数的收敛判别法79

2.1　正项级数的收敛准则79

2.2　比较判别法80

2.3　比值判别法82

2.4　根值判别法84

习题4.285

第三节　任意项级数的收敛判别法86

3.1 交错级数及其收敛判别法86

3.2　绝对收敛与条件收敛88

3.3　级数的乘法运算89

习题4.390

第五章　极限概念的精确化与实数基本定理92

第一节　极限概念的精确化92

1.1 函数极限的精确定义92

1.2　用精确的极限定义论述极限问题95

习题5.198

第二节　实数基本定理99

2.1　单调有界原理的证明99

2.2　区间套定理100

2.3　致密性定理101

2.4　Cauchy收敛准则103

习题5.2106

第三节 闭区间上连续函数性质的证明107

3.1　有界性定理108

3.2　最大（小）值定理108

3.3　介值定理110

习题5.3111

第四节 函数的一致连续性111

4.1 函数的一致连续性概念111

4.2　Cantor一致连续性定理113

习题5.4114

第二篇　一元函数微积分115

第六章　导数与微分115

第一节　导数概念115

1.1　引出导数概念的几个经典问题115

1.2　导数定义119

1.3　求导举例120

1.4　函数的可导性与连续性的关系123

1.5　导数在其他学科中应用举例124

习题6.1125

第二节　求导法则127

2.1　函数和、差、积、商的求导法则127

2.2　反函数的求导法则129

2.3　复合函数的求导法则——链式法则130

2.4　初等函数的导数132

2.5　隐函数求导法133

2.6　由参数方程所确定的函数的求导法134

2.7　高阶导数136

2.8　相关变化率138

习题6.2141

第三节　微分145

3.1　微分概念145

3.2　微分运算法则147

3.3　高阶微分148

3.4　利用微分作近似计算149

习题6.3150

第四节　利用导数求极限——L'Hospital法则152

4.1　0/0型未定式的极限152

4.2　∞/∞型未定式的极限154

4.3　其他类型未定式的极限155

习题6.4157

第七章　微分中值定理与Taylor公式159

第一节　微分中值定理159

1.1　Lagrange微分中值定理的发现159

1.2　Lagrange微分中值定理的证明161

1.3　Lagrange微分中值定理的推广——Cauchy中值定理163

习题7.1165

第二节　Taylor公式167

2.1　Taylor多项式与Taylor公式167

2.2　Taylor公式的余项估计168

2.3　一些初等函数的Maclaurin公式171

2.4　Taylor公式的简单应用173

习题7.2174

第八章　利用导数研究函数的性态176

第一节 函数的单调性与极值176

1.1　函数的单调性176

1.2　函数的极值177

1.3　极值问题的最优性条件178

1.4　最大值与最小值181

习题8.1183

第二节　凸函数185

2.1　凸函数概念185

2.2　判定函数凸性的充分条件186

2.3　凸函数的极值性质188

习题8.2188

第三节　平面曲线的曲率189

3.1 弧微分189

3.2　曲率概念190

3.3　曲率的计算192

3.4　曲率圆与曲率半径193

习题8.3195

第九章　积分及其应用197

第一节　定积分概念197

1.1　引出定积分概念的几个经典问题197

1.2　定积分概念200

1.3　定积分的几何意义202

习题9.1204

第二节　定积分的存在条件205

2.1　可积的必要条件205

2.2　可积函数类205

2.3　可积性准则206

习题9.2208

第三节　定积分的性质及积分中值定理209

3.1　定积分的性质209

3.2　积分中值定理211

3.3　可积函数的一些性质214

习题9.3216

第四节　微积分基本定理217

4.1　Newton-Leibniz公式218

4.2　原函数存在定理220

习题9.4223

第五节　不定积分与积分法则225

5.1　不定积分的概念及性质225

5.2　基本积分表226

5.3　积分法则227

习题9.5232

第六节　换元积分法与分部积分法234

6.1　换元积分法234

6.2　分部积分法241

6.3　积分表的使用方法247

习题9.6249

第七节　反常积分252

7.1　无穷区间上的积分253

7.2　无界函数的积分255

7.3　反常积分的审敛法257

7.4　绝对收敛261

习题9.7262

第八节　定积分应用举例263

8.1　定积分的微元法264

8.2　几何应用举例264

8.3　物理应用举例269

习题9.8273

第九节　微分方程的初等积分法275

9.1　微分方程的几个基本概念276

9.2　一阶变量分离方程279

9.3　一阶齐次微分方程281

9.4　一阶线性微分方程283

9.5　利用变量代换求解微分方程287

9.6　可降阶的高阶微分方程289

9.7　应用举例293

习题9.9296

附录A　积分表301

附录B 向量代数与空间解析几何简介310

第一节 向量及其线性运算310

1.1　向量的概念310

1.2　向量的线性运算311

习题B.1314

第二节　空间直角坐标系314

2.1 空间点的直角坐标314

2.2　空间两点间的距离316

习题B.2317

第三节 向量的坐标317

3.1　向量的坐标317

3.2　利用坐标作向量的线性运算318

3.3　向量的乘积运算319

习题B.3325

第四节　平面和空间直线的方程325

4.1　平面的方程326

4.2　空间直线的方程329

4.3　平面与直线的相关问题331

习题B.4336

第五节 曲面与空间曲线338

5.1 曲面的方程338

5.2　球面、柱面和旋转曲面338

5.3　空间曲线的方程341

5.4　空间曲线在坐标面上的投影342

5.5　二次曲面344

习题B.5349

附录C　常见曲面所围成的立体图形351

习题答案与提示361

主要参考书396