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第一章 命题逻辑1

1.1 命题和联结词1

1.1.1 命题1

1.1.2 命题联结词2

1.1.3 命题表达式5

1.1.4 真值表的构造5

1.1.5 命题符号化6

1.2 重言式7

1.2.1 指派7

1.2.2 重言式7

1.2.3 逻辑等价8

1.2.4 永真蕴含8

1.2.5 代入规则与替换规则9

1.2.6 对偶原理11

1.3 公式中的范式11

1.3.1 析取范式和合取范式12

1.3.2 主析取范式13

1.3.3 主合取范式14

1.4 命题联结词的扩充与归约15

1.4.1 命题联结词的扩充15

1.4.2 命题联结词的规约16

1.5 基于命题的推理17

1.5.1 基于真值表的推理17

1.5.2 基于推理规则的推理17

1.5.3 应用实例19

1.6 习题21

第二章 谓词逻辑24

2.1 谓词公式24

2.1.1 个体24

2.1.2 谓词25

2.1.3 量词26

2.1.4 命题符号化26

2.1.5 谓词公式27

2.2 约束28

2.2.1 约束部分28

2.2.2 换名规则和代替规则29

2.2.3 公式的解释29

2.3 谓词公式中的永真式30

2.3.1 谓词公式的等价30

2.3.2 谓词公式的永真31

2.3.3 谓词公式的可满足31

2.3.4 永真公式31

2.3.5 代入规则、替换规则与对偶原理32

2.4 谓词公式中的范式33

2.4.1 前束范式33

2.4.2 斯柯林范式35

2.5 谓词推理35

2.5.1 推理规则35

2.5.2 举例37

2.6 习题38

第三章 集合论41

3.1 基本概念41

3.2 集合间的关系43

3.3 集合的运算44

3.3.1 集合的基本运算44

3.3.2 集合的运算律47

3.3.3 例题47

3.4 包含排斥原理48

3.4.1 两个集合的包含排斥原理48

3.4.2 三个集合的包含排斥原理49

3.4.3 多个集合的包含排斥原理50

3.5 幂集合与笛卡儿乘积52

3.5.1 幂集合52

3.5.2 笛卡儿乘积53

3.6 集合运算与基数概念的扩展55

3.6.1 并集、交集的扩展55

3.6.2 基数概念的扩展56

3.7 习题59

第四章 二元关系63

4.1 基本概念63

4.1.1 二元关系的定义63

4.1.2 关系的运算64

4.2 关系的基本性质64

4.2.1 自反性64

4.2.2 对称性65

4.2.3 传递性66

4.2.4 反自反性66

4.2.5 反对称性67

4.3 复合关系68

4.4 关系的表示70

4.4.1 用矩阵表示关系71

4.4.2 用图表示关系71

4.4.3 特定关系的矩阵及其关系图的属性72

4.4.4 复合关系的关系矩阵75

4.5 逆关系76

4.5.1 逆关系的定义76

4.5.2 逆关系的性质77

4.6 关系的闭包79

4.6.1 自反，对称和传递闭包79

4.6.2 闭包的性质及求法79

4.7 集合的划分和覆盖83

4.7.1 划分83

4.7.2 交叉划分83

4.7.3 加细84

4.8 等价关系与等价类84

4.8.1 等价关系84

4.8.2 等价类86

4.8.3 划分与等价关系87

4.9 偏序88

4.9.1 引言88

4.9.2 字典顺序91

4.9.3 哈塞图92

4.9.4 极大元素与极小元素94

4.9.5 格96

4.10 函数97

4.10.1 函数的定义97

4.10.2 函数的合成98

4.10.3 特殊函数类98

4.11 习题100

第五章 图论105

5.1 若干图论经典问题105

5.1.1 哥尼斯堡七桥问题105

5.1.2 环球旅行问题105

5.1.3 四色问题106

5.2 图与图的矩阵表示106

5.3 路与连通度110

5.4 欧拉图与哈密尔顿图115

5.5 二部图与匹配117

5.6 平面图121

5.7 树123

5.7.1 树及其性质123

5.7.2 最小生成树125

5.7.3 有向树128

5.8 最大流问题135

5.8.1 网络最大流基本概念135

5.8.2 最大流与最小割136

5.8.3 最大流算法136

5.8.4 最大流算法应用140

5.9 习题141

第六章 代数系统148

6.1 二元运算及性质148

6.1.1 二元运算的定义148

6.1.2 二元运算的性质149

6.2 代数系统153

6.2.1 代数系统的定义与实例153

6.2.2 代数系统的同构与同态154

6.3 半群158

6.3.1 半群158

6.3.2 单位元和逆元159

6.4 群163

6.4.1 群的定义163

6.4.2 群的同态166

6.4.3 循环群169

6.4.4 变换群172

6.4.5 置换群175

6.4.6 子群179

6.4.7 子群的陪集182

6.4.8 不变子群和商群185

6.5 环和域简介187

6.5.1 环187

6.5.2 域189

6.6 习题190

主要参考文献195