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1 绪论1

1.1 现代科学技术研究的一般过程1

1.1.1　工程问题数学化（数学建模）1

1.1.2　数学问题数值化（算法与分析）1

1.1.3　数值问题机器化（程序设计）2

1.1.4　科学实验2

1.2　数值计算研究的主要问题3

1.2.1 线性和非线性方程组的数值解法3

1.2.2　数值逼近3

1.2.3　微分方程数值解4

1.3　误差与数值计算的误差估计4

1.3.1　误差的来源与分类4

1.3.2　误差与有效数字5

1.3.3　数值计算的误差估计8

1.3.4　选用和设计算法时应遵循的原则10

习题一13

2　线性方程组的数值解法15

2.1 消元法16

2.1.1 三角形方程组的解16

2.1.2　高斯消元法与列主元消元法17

2.1.3 高斯-若当（Gauss-Jordan）消元法21

2.2　直接分解法21

2.2.1　多利特尔分解法23

2.2.2　库朗分解26

2.2.3　追赶法27

2.2.4　对称矩阵的LDLT分解28

2.3 向量和矩阵的范数30

2.3.1 向量范数30

2.3.2　矩阵的范数32

2.3.3　矩阵的条件数33

2.3.4　误差分析36

2.4　雅可比迭代37

2.4.1　雅可比迭代格式37

2.4.2　雅可比迭代的收敛性38

2.5 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代41

2.5.1　高斯-塞德尔迭代格式41

2.5.2　高斯-塞德尔迭代的收敛性41

2.6　松弛迭代43

2.6.1　松弛迭代格式43

2.6.2　松弛迭代的收敛性44

2.7　大型稀疏线性方程组数值解44

2.7.1　大型稀疏矩阵的压缩存储44

2.7.2　解大型稀疏线性方程组的共轭斜量法47

习题二48

3　方程（组）的迭代解法51

3.1 引言51

3.2　迭代解法51

3.2.1　根的初值确定方法52

3.2.2　迭代法的求解过程54

3.2.3　迭代法的收敛性57

3.2.4　迭代序列的误差估计58

3.3　迭代公式的改进60

3.3.1　改变方程式法之一61

3.3.2　改变方程式法之二64

3.3.3　牛顿迭代法65

3.3.4　弦截法68

3.3.5 ｜？′（x）｜＞1的处理方法71

3.3.6　高阶迭代函数的构造方法72

3.4　联立方程组的迭代解法75

3.4.1　简单迭代法75

3.4.2　关于一个收敛充分条件的证明78

3.5　联立方程组的牛顿解法79

习题三81

4　插值与拟合83

4.1　插值与拟合问题83

4.1.1　插值问题83

4.1.2　拟合问题84

4.2　拉格朗日插值85

4.2.1 拉格朗日插值多项式85

4.2.2　插值余项与误差估计89

4.3　均差与牛顿插值91

4.3.1　均差及其性质91

4.3.2 牛顿插值92

4.4　差分与等距节点插值94

4.4.1　差分及其性质94

4.4.2　等距节点插值96

4.5　其他插值方法99

4.5.1　埃尔米特插值99

4.5.2　分段低次插值102

4.5.3　三次样条插值105

4.6　曲线拟合112

4.6.1 曲线拟合与函数逼近112

4.6.2　曲线拟合的最小二乘法125

习题四131

5　数值积分与数值微分134

5.1　数值积分问题134

5.1.1　数值求积的基本思想134

5.1.2　代数精度135

5.1.3　插值型求积公式136

5.1.4　数值积分收敛性与稳定性137

5.2　牛顿-柯特斯数值积分138

5.2.1　柯特斯系数138

5.2.2　偶阶求积公式的代数精度139

5.2.3　牛顿-柯特斯求积公式的余项140

5.3　复化求积公式141

5.3.1　复化梯形公式141

5.3.2　复化辛普森求积公式142

5.4　龙贝格求积公式144

5.4.1　梯形法的递推化144

5.4.2　龙贝格算法145

5.4.3　理查森外推加速法147

5.5 高斯求积公式150

5.5.1　勒让德多项式130

5.5.2　高斯-勒让德求积公式153

5.5.3　高斯-切比雪夫求积公式155

5.6　蒙特卡罗数值积分157

5.6.1 蒙特卡罗方法的基本思想及特点157

5.6.2　蒙特卡罗方法伪随机数的产生和检验158

5.6.3　蒙特卡罗随机抽样161

5.6.4　随机变量分布函数的构造163

5.7　数值微分164

5.7.1 中点方法与误差分析164

5.7.2　插值型的求导公式165

5.7.3　利用数值积分求导168

5.7.4　数值微分的外推算法170

习题五171

6　微分方程数值解法174

6.1 引言174

6.2　简单的数值方法175

6.2.1 欧拉（Euler）法175

6.2.2　后退欧拉法176

6.2.3　梯形方法与改进的Euler公式177

6.2.4　单步法的有关概念180

6.3　显式龙格-库塔方法183

6.3.1　显式龙格-库塔方法的一般形式183

6.3.2　2阶显式R-K方法184

6.3.3　3阶与4阶显式R-K方法185

6.4　线性多步法187

6.4.1　线性多步法的一般公式187

6.4.2　基于数值积分的方法188

6.4.3　基于Taylor展开的方法189

6.4.4　预测-校正方法193

6.5　一阶方程组和高阶方程193

6.5.1　一阶方程组193

6.5.2　化高阶方程为一阶方程组195

6.6　边值问题的数值解法195

习题六198

参考文献200