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第1篇 高等数学题型1

第1章 极限和连续1

1.1重要定理1

1.2重要公式3

1.3函数的极限4

题型1无穷小的比较或确定无穷小的阶4

题型2求未定式函数极限5

题型3求分段函数在分界点的极限12

题型4极限式中常数的确定13

1.4数列的极限15

题型5求各种类型（∞/∞型、1∞型、∞-∞型）的数列极限15

题型6给出数列｛xn｝通项表达式，求极限lim n→∞xn17

题型7数列n项和Sn=n∑i=1ai，当n→ ∞时的极限18

题型8 n个因子乘积，当n→∞时的极限20

1.5函数的连续性22

题型9函数连续性的讨论22

题型10确定函数的间断点及其类型23

1.6杂例25

题型11从含有f （x）及limx→x0f（x）的方程中求解f （x）25

题型12当x→0时，求含有e1/x，arctan1/x，arccot1/x,|x|的极限27

题型13含f （x+a）-f （x）的非0/0型极限式且f（x）可导28

第2章 导数与微分29

2.1导数和微分的概念29

2.2导数公式和运算法则30

2.3重要定理31

2.4与导数定义和性质有关的命题31

题型14求含有抽象函数的0/0型极限31

题型15与抽象函数的导数相关的命题34

题型16判断函数的可导性36

2.5各种函数的导数或微分37

题型17求一元复合函数的导数或微分37

题型18求参数方程所确定的函数的导数37

题型19求一元隐函数的导数或微分38

题型20求幂指函数的导数或微分39

题型21求函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分40

题型22求分段函数的导数或微分41

题型23求简单函数的高阶导数44

第3章 不定积分48

3.1不定积分48

3.2三种基本积分方法49

3.3不定积分中的概念57

题型24与原函数相关的命题57

3.4各种函数的不定积分58

题型25求简单有理函数的不定积分58

题型26简单无理函数的不定积分60

题型27三角有理式的积分61

题型28分段函数的不定积分64

题型29含对数函数、反三角函数的不定积分66

题型30复合函数的不定积分67

题型31计算隐函数的不定积分68

第4章 定积分70

4.1定积分的基本性质70

4.2重要定理70

4.3重要公式71

4.4计算定积分的方法72

4.5反常积分73

4.6与定积分的定义和性质相关的命题75

题型32定积分的估值75

题型33变限积分的求导问题76

4.7各种类型定积分的计算77

题型34求分段函数的定积分77

题型35求含有绝对值符号的定积分78

题型36求被积函数中含有变上限积分的定积分79

题型37求对称区间[—l,l］上的定积分80

题型38求周期函数的定积分82

题型39求被积函数的分母为两项，分子恰为其中一项的定积分83

题型40求由三角有理式与初等函数通过四则运算、复合运算或变量代换所得式的定积分83

题型41定积分等式的证明84

题型42定积分不等式的证明88

4.8反常积分92

题型43反常积分的计算及收敛92

第5章 微分中值定理94

5.1闭区间上连续函数的性质94

5.2微分中值定理94

5.3闭区间上连续函数的命题95

题型44闭区间上连续函数命题的证明95

5.4中值定理的应用99

题型45证明给出的函数f （x）满足某中值定理99

题型46证明某个函数恒等于一个常数的命题100

题型47命题f（n）（ξ）=0的证明101

题型48欲证结论：至少存在一点ξ∈ （a,b），使得f（n）（ξ）=k（k≠0）或由a,b,f（a）,f（b）,ξ,f（ξ）,f′（ξ），…，f（n） （ξ）所构成的代数式成立102

题型49欲证结论：在（a,b）内至少存在ξ,ηξ≠η满足某个代数式105

第6章 一元微积分的应用107

6.1重要定理和结论107

6.2导数的应用107

题型50一元函数单调增减性的判别107

题型51一元函数极值的判定或求解110

题型52求一元函数的最值及简单应用111

题型53曲线的拐点或凹凸区间的判定或求解112

题型54函数曲线的渐近线方程的计算与导数的判定113

题型55与曲线曲率相关的命题115

6.3方程的根116

题型56方程根的存在性问题116

题型57方程根的个数的研究117

题型58方程根的唯一性问题118

6.4定积分的应用120

题型59利用微元法解题120

题型60求平面图形的面积122

题型61求旋转体的侧面积124

题型62求已知截面面积的立体体积或旋转体体积126

题型63求平面曲线的弧长128

题型64一元积分在物理上的应用129

第7章 常微分方程132

7.1二阶线性微分方程解的性质132

7.2二阶线性微分方程解的结构定理132

7.3一阶微分方程的求解133

题型65一阶可分离变量方程的求解133

题型66一阶齐次微分方程或可化为齐次微分方程的求解134

题型67一阶线性微分方程的求解137

题型68伯努利方程的求解139

题型69全微分方程的求解140

7.4二阶或二阶以上微分方程的求解143

题型70可降阶的高阶微分方程的求解143

题型71有关二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程解的结构的命题144

题型72求二阶常系数齐次线性或非齐次线性微分方程的通解145

题型73求欧拉方程的通解151

题型74微分方程在几何中的应用152

题型75微分方程在物理中的应用153

第8章向量代数与空间解析几何156

8.1概念和性质156

8.2两个向量之间的关系156

8.3平面方程的几种形式157

8.4空间直线方程的几种形式157

8.5常见二次曲面的标准形式158

题型76向量的运算158

题型77求平面方程160

题型78求空间直线方程161

题型79平面与平面、平面与直线、直线与直线的关系162

题型80求柱面方程165

题型81求投影线方程167

题型82求旋转曲面方程168

第9章 多元函数微分学170

9.1连续、可微和可导的关系170

9.2多元函数的极值170

9.3多元函数微分171

题型83有关二元函数定义域、极限、连续的计算题171

题型84简单显函数z=f（x,y）偏导数的计算172

题型85考查二元函数z= f （x, y）的连续、偏导及可微性173

题型86多元复合函数偏导数的计算174

题型87隐函数偏导数的计算179

题型88多元函数全微分的计算183

9.4多元函数在几何上的应用184

题型89求空间曲线在某点处的切线和法平面方程184

题型90求空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程185

9.5多元函数的极值和最值187

题型91求多元函数的极值187

题型92求多元函数的最值189

第10章 重积分193

10.1二重积分的性质和定理193

10.2二重积分的计算194

10.3二重积分196

题型93更换二重积分的积分次序196

题型94选择积分次序197

题型95积分区域关于坐标轴对称的二重积分199

题型96分段函数的二重积分201

题型97被积函数f（x,y）中含有绝对值符号的二重积分203

题型98被积函数f（x,y）中含有最值符号max或min的二重积分204

题型99二重积分等式的证明205

题型100二重积分不等式的证明206

10.4三重积分208

题型101三重积分的计算208

题型102利用对称性化简三重积分213

题型103利用轮换对称性化简三重积分214

10.5重积分的应用215

题型104求体积215

题型105求曲面的面积216

题型106求薄片或形体的质量、质心的坐标、转动惯量、引力217

第11章无穷级数219

11.1基本性质219

11.2级数的判敛法219

11.3幂级数221

11.4七个常见的函数展开式（必须熟记）222

11.5与级数概念和性质相关的命题223

题型107判别数项级数∞∑n-1Un的敛散性，并附有“若收敛时，求其和”的命题223

题型108利用级数敛散性的定义及性质，判断级数的敛散性224

11.6级数敛散性的判别225

题型109正项级数敛散性的判别225

题型110交错级数∞∑n-1（-1）n1un（un ＞0）敛散性的判别228

题型111任意项级数敛散性的判别230

题型112有关数项级数敛散性的证明233

题型113给出函数f（x）的某种条件，形如∞∑n-1f （n）的级数的敛散性的证明235

题型114利用级数证明数列｛an｝极限的存在或求解某些特殊极限236

11.7幂级数237

题型115求函数项级数的收敛域237

题型116求幂级数的收敛域或收敛半径240

题型117求函数在指定点的幂级数展开式242

题型118无穷级数求和245

11.8傅里叶级数250

题型119将函数展开成傅里叶级数250

第12章曲线积分与曲面积分254

12.1曲线积分254

12.2曲面积分255

12.3曲线积分题型257

题型120对弧长曲线积分的计算257

题型121平面坐标中对坐标的曲线积分的计算259

题型122空间域中对坐标的曲线积分的计算264

12.4曲面积分题型265

题型123对面积的曲面积分的计算265

题型124对坐标的曲面积分的计算268

题型125应用题273

题型126场论初步275

第13章 函数方程与不等式证明278

13.1函数方程278

题型127利用函数表示法与用什么字母表示无关的特性求函数方程278

题型128利用极限求函数方程278

题型129已知函数在一点的导数及函数方程，求函数方程279

题型130已知函数方程中含有变上限积分，求函数方程279

题型131已知函数连续，且函数式中含函数的定积分、极限或二重积分，求函数方程282

题型132已知函数方程中含有偏导数条件或曲线积分与路径无关，求函数方程283

13.2不等式证明284

题型133存在一个点ξ∈ （a, b），使得不等式成立或不等式通过变形，一端可写成f（b）-f（a）/b-a或f（b）-f（a）/g（b）-g（a）的命题的证明284

题型134在某一区间（a,b）不等式命题成立的证明285

题型135文字不等式的证明286

题型136函数f （x）二阶和二阶以上可导的不等式命题的证明287

题型137杂例288

第2篇 线性代数题型291

第14章 行列式291

14.1重要定理和性质291

14.2重要结论291

题型138与行列式的定义和性质相关的命题292

题型139数值型行列式的计算293

题型140行列式的余子式或代数余子式线性组合的计算298

题型141计算抽象行列式300

第15章 矩阵303

15.1矩阵的运算性质303

15.2重要结论303

15.3逆矩阵304

题型142有关逆矩阵的计算问题304

题型143矩阵可逆的证明307

15.4矩阵的运算308

题型144有关矩阵运算的命题308

题型145求矩阵的行列式310

题型146与伴随矩阵相关的命题312

15.5初等矩阵313

题型147有关初等变换和初等矩阵的命题313

第16章 向量316

16.1重要结论316

16.2向量题型317

题型148讨论向量组的线性相关性317

题型149求向量组的极大线性无关组和秩321

题型150有关向量组或矩阵的秩的计算与证明322

题型151有关向量的线性表示的问题323

16.3向量空间题型328

题型152求向量空间的基与维数328

题型153求过渡矩阵与向量的坐标329

题型154有关正交矩阵的命题330

第17章 线性方程组331

17.1重要性质和定理331

17.2有关线性方程组的题型332

题型155有关线性方程组的基本概念题332

题型156有关基础解系的命题334

题型157线性方程组的求解335

题型158矩阵方程的求解339

题型159讨论两个线性方程组解之间的关系341

第18章 特征值与特征向量344

18.1重要结论344

18.2矩阵的特征值与特征向量345

题型160求数值型矩阵的特征值与特征向量345

题型161求抽象矩阵的特征值与特征向量347

题型162特征值与特征向量的逆问题348

18.3相似矩阵及其对角化350

题型163相似矩阵的判定及其逆问题350

题型164矩阵可对角化的判定及其逆问题351

题型165有关实对称矩阵的命题352

第19章 二次型354

19.1重要结论354

19.2二次型题型354

题型166二次型所对应的矩阵及其性质354

题型167用正交变换法化二次型为标准型356

题型168有关正定的判定360

题型169与二次曲面相关的命题362

第3篇 概率论与数理统计题型365

第20章 事件的概率365

20.1重要性质365

20.2常用结论366

20.3古典概型和几何概型367

题型170古典概型的概率计算367

题型171几何概型的概率计算368

20.4概率的概念、性质及计算369

题型172有关事件的独立性的命题369

题型173利用逆事件概率公式P（A） =1-P（A）计算概率371

题型174利用加法公式、乘法公式和条件概率公式计算概率371

题型175利用事件的独立性和伯努利概型计算概率374

题型176利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率375

第21章 随机变量及其分布379

21.1重要定理和结论379

21.2一维随机变量及其分布379

题型177与一维随机变量概念和性质相关的命题379

题型178求离散型随机变量的分布律或分布函数381

题型179求连续型随机变量的概率密度或分布函数383

题型180由已知分布求概率或由已知概率求分布384

题型181求一维随机变量函数的概率分布386

题型182综合题390

第22章 多维随机变量及其分布392

22.1重要结论392

22.2二维随机变量及其分布392

题型183与二维随机变量概念、性质有关的命题392

题型184求二维随机变量的各种分布（分布律，边缘分布律，边缘分布密度）394

题型185随机变量独立性的判别400

题型186由已知分布求概率401

题型187求二维随机变量函数的分布403

题型188关于二维正态分布问题408

第23章 随机变量的数字特征411

23.1重要性质和公式411

23.2重要结论412

23.3一维随机变量的数字特征412

题型189求一维随机变量的数字特征412

题型190求一维随机变量函数的数字特征或逆问题414

23.4二维或多维随机变量的数字特征415

题型191求二维随机变量及其函数的数字特征415

题型192有关数字特征与独立性及相关性的关系的命题420

题型193利用0-1分布求多维随机变量的数字特征422

第24章 大数定律和中心极限定理424

24.1大数定律424

24.2中心极限定理425

题型194估算随机事件的概率425

题型195与大数定律有关的命题429

题型196试验次数n的确定429

第25章 数理统计432

25.1常用统计量432

25.2三个常见的抽样分布：x2分布、t分布和F分布432

25.3正态总体条件下样本均值和样本方差的分布434

25.4数理统计中的重要结论435

25.5参数估计的重要结论435

25.6假设检验的重要结论435

25.7统计量的基本概念437

题型197求统计量的分布及概率437

题型198求统计量的数字特征439

25.8参数估计442

题型199求参数的点估计（矩估计和最大似然估计）442

题型200讨论参数估计的性质445

题型201参数的区间估计448

25.9假设检验452

题型202正态总体的均值和方差的假设检验452

题型203有关两类错误的命题454