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第1章 极限与连续1

1.1极限1

1.1.1数列及其简单性质1

1.1.2数列的极限3

1.1.3收敛数列的性质，极限的运算7

1.1.4函数的极限10

1.1.5有极限的函数的性质，函数极限的运算16

习题1.118

1.2极限存在准则，两个重要极限20

1.2.1极限存在的两条准则20

1.2.2两个重要极限21

习题1.225

1.3无穷小与无穷大26

1.3.1无穷小量26

1.3.2极限的另一种表述形式27

1.3.3无穷小量的性质27

1.3.4无穷小的比较28

1.3.5无穷大量30

习题1.332

1.4函数的连续性33

1.4.1函数连续性的定义33

1.4.2间断点及其分类36

1.4.3连续函数的运算38

1.4.4初等函数的连续性40

1.4.5闭区间上的连续函数的性质42

1.4.6一致连续性44

习题1.445

第2章 导数与微分47

2.1导数及其运算47

2.1.1变化率问题47

2.1.2导数的定义48

2.1.3导数基本公式表51

2.1.4导数的运算法则55

2.1.5隐函数的导数63

2.1.6参数方程所给定的函数的导数65

2.1.7高阶导数67

习题2.172

2.2微分及其应用75

2.2.1微分的定义75

2.2.2函数可微的条件76

2.2.3微分的几何意义78

2.2.4微分基本公式和微分法则78

2.2.5一阶微分的形式不变性79

2.2.6微分的应用80

习题2.282

3.1.1罗尔定理84

第3章 导数的应用84

3.1中值定理84

3.1.2拉格朗日中值定理85

3.1.3柯西中值定理88

习题3.188

3.2洛必达法则90

3.2.1？的不定型90

3.2.2？的不定型92

3.2.3其他的不定型（0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞）93

习题3.295

3.3泰勒公式96

习题3.399

3.4函数的单调性，极值100

3.4.1函数的单调性100

3.4.2函数的极值102

3.4.3最大值与最小值104

习题3.4106

3.5曲线的凹凸性，拐点107

3.5.1曲线的凹凸性107

3.5.2曲线的拐点109

习题3.5110

3.6曲线的渐近线，函数作图110

3.6.1曲线的渐近线110

3.6.2函数作图112

习题3.6114

3.7平面曲线的曲率114

3.7.1曲率的定义114

3.7.2曲率的计算公式115

习题3.7116

3.8方程的近似解117

3.8.1弦位法117

3.8.2切线法（牛顿法）119

习题3.8120

4.1.1不定积分与原函数的概念121

4.1不定积分与原函数121

第4章 不定积分121

4.1.2基本积分表122

4.1.3不定积分的性质124

习题4.1125

4.2换元积分法，分部积分法126

4.2.1第一换元法（凑微方法）126

4.2.2第二换元法129

4.2.3分部积分法134

习题4.2137

4.3几种特殊类型的积分139

4.3.1有理函数的分解139

4.3.2有理函数的积分141

4.3.3三角函数有理式的积分144

4.3.4简单无理函数的积分146

4.3.5结束语149

习题4.3150

第5章 定积分及其应用152

5.1定积分及其一般性质152

5.1.1曲边梯形的面积，变力所做的功152

5.1.2定积分的定义153

5.1.3定积分的性质，中值定理155

习题5.1159

5.2.1用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分160

5.2定积分的计算160

5.2.2用换元法计算定积分161

5.2.3用分部积分法计算定积分165

5.2.4定积分的近似计算167

习题5.2171

5.3广义积分与函数Γ（x）172

5.3.1无穷区间上的积分172

5.3.2无界函数的积分173

5.3.3函数Γ（x）175

5.4定积分的应用177

5.4.1微元法177

习题5.3177

5.4.2平面图形的面积178

5.4.3截面面积为已知的立体的体积181

5.4.4曲线的弧长与弧微分184

5.4.5旋转面的表面积188

5.4.6功，液体的压力190

习题5.4192

第6章 微分方程194

6.1基本概念194

6.1.1微分方程与它的阶194

6.1.2微分方程的解与积分曲线195

6.2.1可分离变量的微分方程196

习题6.1196

6.2变量分离的微分方程196

6.2.2可化为变量分离的方程199

习题6.2202

6.3一阶线性微分方程203

6.3.1一阶线性齐次方程203

6.3.2一阶线性非齐次方程204

6.3.3伯努利方程206

习题6.3207

6.4一阶微分方程应用举例207

6.5.1方程y（n）＝f（x）212

6.5几种特殊类型的高阶微分方程212

习题6.4212

6.5.2方程y″＝f（x，y′）213

6.5.3方程y″＝f（y，y′）215

习题6.5217

6.6线性微分方程的解的结构217

习题6.6220

6.7常系数线性微分方程220

6.7.1常系数线性齐次方程220

6.7.2常系数线性非齐次方程224

6.7.3欧拉方程231

6.7.4应用举例232

习题6.7235

6.8差分方程简介236

6.8.1差分，差分方程236

6.8.2一阶常系数线性差分方程237

6.8.3二阶常系数线性差分方程239

6.8.4结束语241

习题6.8241

第7章 级数242

7.1常数项级数242

7.1.1收敛级数及其性质242

7.1.2正项级数247

7.1.3任意项级数253

习题7.1256

7.2函数项级数258

7.2.1一般概念258

7.2.2一致收敛的函数项级数259

7.2.3一致收敛性的判别法261

习题7.2262

7.3幂级数262

7.3.1幂级数的收敛半径262

7.3.2幂级数的运算266

7.3.3函数的幂级数展开270

7.3.4幂级数的应用举例275

7.3.5微分方程的幂级数解法简介278

习题7.3282

7.4傅里叶级数284

7.4.1三角级数，三角函数系的正交性284

7.4.2函数的傅里叶级数285

7.4.3正弦级数与余弦级数290

7.4.4函数在任意区间上的傅里叶级数292

习题7.4295

附录A 双曲函数297

附录B 极坐标300

附录C 复数305

附录D 习题答案与提示309