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第1章 数论1

1.1 整数1

1.2 素数2

1.3 最大公约数与欧几里得算法3

1.4 欧几里得算法复杂性讨论5

1.5 大数的因数分解6

1.6 同余式7

1.7 中国剩余定理10

1.8 Gauss算法11

1.9 古典密码举例之一：Kaiser密码12

1.10 古典密码举例之二：单表置换13

1.11 古典密码举例之三：Vigenere密码17

1.12 Wilson定理与Fermat定理20

1.13 Euler定理21

1.14 Euler定理帮助人们完成了一场密码学的革命22

1.15 数字签名24

1.16 Karatsuba-Offman算法及中国剩余定理在解密过程中的应用24

1.17 指数和原根25

1.18 指标（离散对数）27

1.19 Miller素数判定法28

1.20 ElGamal公钥密码29

1.21 平方剩余与非平方剩余，Legender符号31

1.22 互倒定理33

1.23 Jacobi符号37

习题41

第2章 群论与有限域理论简介45

2.1 群论45

2.2 有限域51

习题57

第3章 大数分解58

3.1 Pollard p—1因数分解法58

3.2 连分数因数分解法59

3.3 Pollard ρ法64

3.4 Dixon随机平方因数分解法65

习题66

第4章 线性反馈移位寄存器67

4.1 流码67

4.2 线性反馈移位寄存器67

4.3 Golomb随机性概念70

4.4 非线性移位寄存器举例71

4.5 LFSR的密码反馈75

习题76

第5章 判定素数的算法77

5.1 数学准备77

5.2 概率算法79

5.3 随机数的发生器80

5.4 Miller-Rabin测试法82

5.5 Miller-Rabin算法的有关定理83

5.6 附录AKS确定型判定素数的多项式算法83

5.7 符号与准备84

5.8 AKS算法85

5.9 正确性证明85

5.10 复杂性分析88

5.11 改进意见88

5.12 2002年的AKS算法88

习题89

第6章 零知识证明简介90

6.1 概念90

6.2 身份的零知识证明91

6.3 Fiat-Shamir协议适于网上身份验证92

6.4 Schnorr身份验证92

6.5 Feige-Fiat-Shamir身份验证协议92

6.6 Feige-Fiat-Shamir身份验证93

习题94

第7章 大数快速算法与求离散对数95

7.1 数的m进制表示95

7.2 多位数的运算96

7.3 离散对数106

7.4 求离散的Baby-Step giant-step算法107

7.5 Pohlig-Hellman算法108

7.6 Shank法109

7.7 数指标的算法111

习题114

第8章 椭圆曲线115

8.1 Weierstrass方程115

8.2 判别式与结式116

8.3 椭圆曲线上的加法法则118

8.4 椭圆曲线上的无穷远点及有限域上的椭圆曲线122

8.5 GF（2k）上的椭圆曲线125

8.6 P+(Q+R)=(P+Q)+R125

8.7 椭圆曲线的密码127

8.8 若干算法129

8.9 复合域G（（2n）m）简介130

习题132

第9章 Lenstra因数分解法133

9.1 mod n的椭圆曲线133

9.2 算法的补充139

习题142

第10章 信息论及编码143

10.1 导论143

10.2 Hamming距离143

10.3 码字144

10.4 熵的概念145

10.5 熵的性质147

10.6 条件熵148

10.7 信道容量155

10.8 无噪声信道158

10.9 无噪声无记忆的编码理论160

10.10 Huffman码161

10.11 变长度码的译码方法163

10.12 分组码，Hamming码164

10.13 BCH码166

习题168

参考文献170