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第1章 函数与极限1

1.1 集合1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 集合的运算2

1.1.3 区间与邻域2

1.2 函数3

1.2.1 函数的概念3

1.2.2 函数的几种特性6

1.2.3 反函数9

1.2.4 复合函数10

1.2.5 基本初等函数10

1.2.6 初等函数12

1.3 数列的极限12

1.3.1 数列极限的概念14

1.3.2 数列极限的性质15

1.4 函数的极限15

1.4.1 函数极限的定义15

1.4.2 函数极限的性质19

1.4.3 极限的四则运算法则19

1.4.4 复合运算法则21

1.4.5 两个重要极限22

1.5 连续函数及其运算26

1.5.1 连续函数的概念26

1.5.2 函数的间断点及其分类27

1.5.3 连续函数的运算29

1.5.4 初等函数的连续性30

1.5.5 闭区间上连续函数的性质30

章后习题33

第2章 一元函数微分学及其应用35

2.1 导数的概念35

2.1.1 导数的定义35

2.1.2 求导举例36

2.1.3 导数的几何意义38

2.1.4 函数的可导性与连续性之间的关系39

2.2 求导基本法则40

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则40

2.2.2 反函数的求导法则44

2.2.3 复合函数求导法则45

2.2.4 初等函数的导数47

2.2.5 高阶导数49

2.2.6 隐函数的导数52

2.2.7 由参数方程所确定的函数的导数53

2.3 微分54

2.3.1 微分的概念54

2.3.2 微分的几何意义57

2.3.3 微分的计算57

2.4 微分中值定理60

2.4.1 Rolle中值定理60

2.4.2 Lagrange中值定理61

2.4.3 Cauchy中值定理63

2.5 L'Hospital法则64

2.5.1 0/0型未定式定值法64

2.5.2 ∞/∞型未定式定值法66

2.5.3 其它未定式定值法67

2.6 函数的单调性与极值69

2.6.1 函数的单调性的判别法69

2.6.2 函数的极值71

2.7 函数的凸性与拐点74

章后习题76

第3章 积分及其应用79

3.1 不定积分的概念和性质79

3.1.1 原函数与不定积分79

3.1.2 不定积分的性质81

3.1.3 基本积分公式81

3.2 换元积分法83

3.2.1 第一类换元积分法83

3.2.2 第二类换元积分法86

3.3 分部积分法89

3.4 有理函数的积分93

3.4.1 简单有理函数的积分93

3.4.2 三角函数有理式的积分96

3.5 定积分的概念与性质97

3.5.1 定积分的定义98

3.5.2 定积分的性质99

3.6 微积分学基本定理103

3.6.1 积分上限的函数与原函数存在定理104

3.6.2 Newton—Leibniz公式105

3.7 定积分的换元积分法与分部积分法107

章后习题113

第4章 向量代数与空间解析几何117

4.1 向量及其运算117

4.1.1 空间直角坐标系117

4.1.2 向量的概念118

4.1.3 向量的线性运算119

4.1.4 向量的坐标121

4.1.5 向量的乘积运算124

4.2 平面与直线128

4.2.1 平面128

4.2.2 直线132

4.3 曲面与曲线136

4.3.1 柱面和旋转曲面136

4.3.2 二次曲面138

4.3.3 曲线方程140

章后习题142

第5章 多元函数微分学144

5.1 多元函数的基本概念144

5.1.1 平面点集144

5.1.2 多元函数145

5.1.3 多元函数的极限和连续性147

5.2 偏导数和全微分148

5.2.1 偏导数148

5.2.2 高阶偏导数151

5.2.3 全微分152

5.3 复合函数与隐函数微分法156

5.3.1 复合函数的微分法156

5.3.2 隐函数的微分法160

5.4 多元函数的极值问题162

5.4.1 多元函数的极值问题163

章后习题165

第6章 多元函数积分学169

6.1 二重积分169

6.1.1 二重积分的概念169

6.1.2 二重积分的性质170

6.1.3 在直角坐标系下计算二重积分172

6.1.4 在极坐标系下计算二重积分176

6.2 三重积分179

6.2.1 三重积分的概念和性质179

6.2.2 在直角坐标系下计算三重积分180

6.2.3 在柱面坐标系和球面坐标系下计算三重积分183

6.3 第一型曲线、曲面积分186

6.3.1 第一型曲线积分的概念与性质186

6.3.2 第一型曲线积分的计算187

6.3.3 第一型曲面积分的概念与性质189

6.3.4 第一型曲面积分的计算190

6.4 第二型曲线、曲面积分193

6.4.1 第二型曲线积分的概念与性质193

6.4.2 两种曲线积分之间的关系194

6.4.3 第二型曲线积分的计算195

6.4.4 第二型曲面积分的概念与性质198

6.4.5 第二型曲面积分的计算199

6.5 Green公式和Gauss公式及其应用204

6.5.1 Green公式204

6.5.2 平面曲线积分与路径无关的条件208

6.5.3 Gauss公式210

章后习题213

第7章 无穷级数221

7.1 常数项级数及性质221

7.1.1 常数项级数的概念221

7.1.2 无穷级数的基本性质224

7.2 数项级数收敛性的判别法225

7.2.1 正项级数及其判别法225

7.2.2 交错级数及其判别法232

7.2.3 绝对收敛与条件收敛233

7.3 函数项级数235

7.4 幂级数236

7.4.1 幂级数及其收敛域236

7.4.2 幂级数的运算与性质240

7.5 函数的幂级数展开242

7.5.1 Taylor级数242

7.5.2 函数的幂级数展开244

7.6 Fourier级数249

7.6.1 三角函数系的正交性249

7.6.2 以2π为周期的函数的Fourier级数249

7.6.3 奇、偶函数的展开254

7.6.4 函数展开成正弦级数或余弦级数255

7.6.5 以21为周期的函数的Fourier级数256

章后习题260

第8章 微分方程267

8.1 微分方程的基本概念267

8.1.1 微分方程的概念267

8.2 一阶微分方程269

8.2.1 可分离变量的微分方程270

8.2.2 齐次方程271

8.2.3 一阶线性微分方程274

8.3 可降阶的高阶微分方程276

8.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程276

8.3.2 yn=f（x,y′）型的微分方程277

8.3.3 yn=f（y,y′）型的微分方程279

8.4 高阶线性微分方程及其通解结构280

8.4.1 二阶齐次线性微分方程的通解结构280

8.4.2 二阶非齐次线性微分方程的通解结构282

8.5 二阶常系数齐次线性微分方程283

8.5.1 特征方程具有两个不相等的实根284

8.5.2 特征方程具有两个相等的实根284

8.5.3 特征方程具有一对共轭的复根286

8.6 二阶常系数非齐次线性微分方程287

8.7 Euler方程290

8.8 常系数线性微分方程组的解法举例292

章后习题293

参考文献297