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数学史话11

第1章 函数、极限与连续3

1.1 函数3

1.1.1　函数的概念与分类3

1.1.2　函数的几种特性5

1.1.3　基本初等函数6

1.1.4　复合函数10

1.1.5　初等函数11

练习1.112

1.2　极限的概念12

1.2.1　数列｛xn｝的极限12

1.2.2　函数y=f（x）的极限14

练习1.217

1.3　极限的运算18

1.3.1 极限的运算法则18

1.3.2　两个重要极限19

1.3.3 无穷小与无穷大21

练习1.323

1.4　函数的连续性24

1.4.1　基本概念24

1.4.2　初等函数的连续性26

1.4.3 函数的间断点27

1.4.4　闭区间上连续函数的性质28

练习1.430

本章知识结构图30

数学史话231

第2章　一元函数微分学33

2.1　导数的概念33

2.1.1　导数的定义34

2.1.2　导数的几何意义36

2.1.3　可导与连续的关系37

练习2.138

2.2　初等函数的导数39

2.2.1 函数的求导法则39

2.2.2　复合函数的导数41

2.2.3 导数公式43

练习2.243

2.3　隐函数的导数及高阶导数44

2.3.1 隐函数的导数44

2.3.2　取对数求导法45

2.3.3　高阶导数46

2.3.4　利用函数型计算器计算函数在点x0处的导数47

练习2.347

2.4　微分及其应用47

2.4.1　微分的概念47

2.4.2　微分公式与微分运算法则48

2.4.3 参数式函数的导数50

2.4.4　微分在近似计算中的应用51

练习2.452

2.5　中值定理与洛必达法则53

2.5.1 中值定理53

2.5.2　洛必达法则54

练习2.556

2.6　函数的单调性56

2.6.1 函数单调性的判别法56

2.6.2　函数的极值及其求法59

练习2.662

2.7　函数的最大值与最小值62

2.7.1 闭区间［a,b］上的连续函数的最值62

2.7.2　一般区间上的连续函数的最值63

2.7.3　实际问题中的最值63

练习2.764

2.8　函数图像的描绘64

2.8.1 曲线的凹凸性及拐点64

2.8.2　曲线的渐近线66

2.8.3　描绘函数图像的步骤67

练习2.869

2.9 曲率69

2.9.1　弧微分70

2.9.2　曲率及其计算公式70

练习2.975

本章知识结构图75

数学史话376

第3章　一元函数积分学77

3.1　定积分77

3.1.1　定积分问题举例——求曲边梯形的面积77

3.1.2　定积分的定义78

3.1.3　定积分的几何意义79

练习3.180

3.2　定积分的性质和微积分的基本公式80

3.2.1　定积分的性质80

3.2.2　微积分的基本公式81

练习3.283

3.3　不定积分83

3.3.1　不定积分的概念83

3.3.2　基本积分表84

3.3.3　不定积分的性质85

练习3.386

3.4　求不定积分的常用方法86

3.4.1　直接积分法87

3.4.2　换元积分法87

3.4.3　分部积分法90

3.4.4　积分表及其使用91

练习3.492

3.5　定积分的计算93

3.5.1　直接应用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分93

3.5.2　定积分的换元积分法94

3.5.3　定积分的分部积分法95

3.5.4　利用计算器计算定积分96

练习3.596

3.6　广义积分97

3.6.1　无穷区间上的广义积分97

3.6.2　无界函数的广义积分99

练习3.6100

3.7　定积分的应用100

3.7.1　微元法100

3.7.2　定积分在几何中的应用101

3.7.3 定积分在物理中的应用105

3.7.4　求函数的平均值及其应用107

练习3.7107

本章知识结构图108

数学史话4109

第4章 向量代数与空间解析几何110

4.1 空间直角坐标系110

4.1.1　空间点的坐标表示110

4.1.2 空间两点间的距离112

练习4.1112

4.2　空间向量112

4.2.1 空间向量的基本概念112

4.2.2　向量的线性运算113

4.2.3 向量的坐标表示115

4.2.4　空间向量的数量积与向量积117

练习4.2119

4.3　平面与空间直线的方程119

4.3.1　平面的方程119

4.3.2　空间直线的方程122

练习4.3124

4.4　几种常见曲面与空间曲线的方程124

4.4.1　几种常见曲面的方程124

4.4.2　几种常见空间曲线的方程128

练习4.4129

本章知识结构图130

数学史话5131

第5章　二元函数微积分132

5.1　二元函数的基本概念132

5.1.1　二元函数的定义132

5.1.2　二元函数的极限135

5.1.3　二元函数的连续性136

练习5.1137

5.2　偏导数与全微分137

5.2.1　偏导数的定义及计算137

5.2.2　全微分141

5.2.3　复合函数偏导数的计算142

练习5.2144

5.3　极值和最值144

5.3.1 二元函数的极值144

5.3.2　最值的求法145

练习5.3146

5.4　二重积分146

5.4.1　二重积分的概念146

5.4.2　二重积分的性质148

5.4.3　二重积分的计算148

5.4.4　二重积分的应用153

练习5.4155

本章知识结构图156

数学史话6157

第6章　常微分方程159

6.1　常微分方程的基本概念159

6.1.1　常微分方程举例159

6.1.2　基本概念160

练习6.1162

6.2　一阶微分方程162

6.2.1　dy/dx=f（x）型162

6.2.2 dy/dx=f（x）g（y）型163

6.2.3 dy/dx+p（x）y=q（x）型163

练习6.2166

6.3　二阶常系数线性微分方程166

6.3.1　二阶常系数线性齐次微分方程166

6.3.2　二阶常系数线性非齐次微分方程167

练习6.3171

6.4　微分方程的应用172

6.4.1　机械振动中的应用172

6.4.2　电学电路中的应用174

6.4.3　力学中的应用175

本章知识结构图178

数学史话7179

第7章　级数180

7.1　常数项级数180

7.1.1　常数项级数的概念与性质180

7.1.2　正项级数和交错级数的敛散性判别法183

练习7.1185

7.2　幂级数186

7.2.1　幂级数的概念186

7.2.2　幂级数的和函数的性质188

7.2.3　函数展开成幂级数189

练习7.2191

7.3　傅里叶级数191

7.3.1　傅里叶级数及其收敛性192

7.3.2　函数展开成傅里叶级数193

练习7.3198

本章知识结构图198

第8章　矩阵与线性方程组199

8.1　矩阵的概念199

8.1.1　矩阵的定义199

8.1.2　特殊的矩阵200

练习8.1200

8.2　矩阵的运算201

8.2.1　矩阵的相等201

8.2.2　矩阵的加法201

8.2.3　数乘矩阵202

8.2.4　矩阵的乘法203

8.2.5　转置矩阵205

练习8.2206

8.3　矩阵的初等变换与矩阵的秩206

8.3.1　矩阵的初等变换206

8.3.2　行阶梯形矩阵206

8.3.3　矩阵的秩207

8.3.4　矩阵的秩的求法207

练习8.3208

8.4　逆矩阵209

8.4.1　逆矩阵的概念与性质209

8.4.2　逆矩阵的求法209

练习8.4212

8.5　线性方程组的矩阵形式213

练习8.5214

8.6　线性方程组的解法214

8.6.1　齐次线性方程组的解法214

8.6.2　非齐次线性方程组的解法215

练习8.6217

本章知识结构图218

数学史话8219

第9章　拉普拉斯变换220

9.1　拉氏变换的概念220

9.1.1　拉氏变换的定义220

9.1.2　三个特殊的函数221

练习9.1223

9.2　拉氏变换的性质223

练习9.2227

9.3　拉氏逆变换227

练习9.3230

9.4　拉氏变换的应用230

练习9.4235

本章知识结构图235

附录A　积分表236

附录B　初等数学中常用的公式与方法245

附录C　练习题参考答案252

参考文献264