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1—1 数学模型与科技工程1

〔1〕绪言1

第一章 数学模型概述1

第一章 数学模型概述1

〔2〕科学发展与数学模型2

〔3〕工程技术与数学模型3

1—2 数学模型及分类4

〔1〕模型4

〔2〕数学模型6

〔3〕数学模型的分类8

1—3 建立数学模型的一般方法12

〔1〕建立数学模型的方法与步骤12

例1.3.1 建立行星运动数学模型的追溯14

〔2〕举例14

例1.3.2 铁道车辆的浮沉振动22

〔1〕函数式30

第二章 直接确定模型30

2—1 直接确定模型——函数式30

第二章 直接确定模型30

〔2〕隐函数·复合函数31

例2.1.1 复合函数的方框图表示32

〔3〕系统的直接数学模型——函数的建立33

例2.1.2 开普勒行星运行第三定律33

例2.1.3 由开普勒定理推导牛顿万有引力定律34

2—2 经验公式36

〔1〕建立经验公式的步骤36

〔2〕决定经验公式的形式37

〔3〕常用经验公式37

〔1〕直线48

2—3 图示法48

例2.3.1 铜导线的电阻与温度关系的经验公式48

〔2〕曲线改直50

例2.3.2 单摆振幅与时间关系的经验公式50

2—4 最小二乘法52

〔1〕最小二乘法原理52

〔2〕正规方程55

〔3〕线性及可化为线性的经验公式57

例2.4.1 铜棒的长度与温度关系的经验公式58

例2.4.2 油的粘度与温度关系的经验公式60

例2.4.3 电弧电流与电压降之间的经验公式61

例2.5.1 导线盘速度与电流频率之间的经验公式64

〔1〕均值法64

2—5 均值法与差分法64

例2.5.2 钻孔速度与钻孔深度之间的经验公式66

〔2〕差分法67

例2.5.3 水深与流速间关系的经验公式68

例2.5.4 比较三种求经验公式方法的误差71

〔3〕方法的误差比较71

〔1〕微观模型74

3—1 基本概念74

第三章 微观模型74

例3.1.1 质量不断增长的雨滴的运动规律74

第三章 微观模型74

例3.1.2 乌王堆一号墓的年代75

〔2〕导数、偏导数77

〔3〕微分78

〔1〕力学80

3—2 物理学中一些与微分有关的基本定律80

例3.2.1 离心式节速器83

例3.2.2 物体在液面上的浮沉振动84

例3.2.3 单摆的拉格朗日方程87

例3.2.4 圆柱在圆筒内滚动的数学模型88

〔2〕电学89

例3.2.5 R—C电路93

例3.2.6 线性定常RLC电路93

〔3〕热学95

例3.2.7 绝缘细棒的导热方程96

例3.2.8 流动中的流体导热方程96

〔1〕几何98

3—3 几何、化学、群体增长及其他类型98

例3.3.1 旋转反射面的形状99

例3.3.2 铁路线路的缓和曲线100

例3.3.3 旋转液面的形状103

〔2〕化学动力学104

例3.3.4 空气除尘108

〔3〕溶液混合问题108

例3.3.5 细菌繁殖110

〔4〕群体理论模型及人口增长110

例3.3.6 鱼类生存竞争的数学模型113

例3.4.1 梁的弹性曲线123

3—4 微观模型与微分方程123

〔1〕微观模型的分类123

例3.4.2 梁的横向振动125

〔2〕集中参数系统的数学模型127

例3.4.3 追线128

例3.4.5 肿瘤生长的数学模型134

例3.4.6 诊断糖尿病的数学模型135

例3.4.7 传染病流行的数学模型139

例3.4.8 弦微小横振动与膜振动142

〔3〕分布参数系统的数学模型142

例3.4.9 杆的纵振动146

例3.4.10 扩散过程148

例3.4.11 大气污染的扩散150

例3.4.4 悬链线151

例3.4.12 稳定温度分布与稳定浓度分布151

例3.4.13 输电线方程152

〔1〕定解条件154

3—5 定解条件154

〔2〕初始条件157

例3.5.2 受持久力和冲击力作用的振动系统159

例3.5.1 弦振动的初始条件159

〔3〕边界条件161

例3.5.3 杆的纵振动的边界条件163

〔5〕衔接条件165

〔4〕混合条件165

例3.5.4 均匀介质球的衔接条件166

〔1〕微观模型与宏观模型168

第四章 宏观模型168

4—1 宏观模型168

第四章 宏观模型168

〔2〕积分概念169

〔3〕续系统的宏观模型170

例4.1.1 亚贝尔问题172

〔4〕例题172

例4.1.2 R—C串联电路173

4—2 积分方程式174

〔1〕积分方程式174

〔2〕线性积分力程的类型176

〔3〕解的存在及唯一性177

〔4〕线性齐次积分方程182

〔5〕线性非齐次积分方程184

〔6〕渥尔特拉方程186

5—1 周期由数189

〔1〕周期函数189

第五章 周期模型189

第五章 周期模型189

〔2〕圆函数190

5—2 傅里叶级数190

〔1〕傅里叶级数190

例5.2.1 矩形波函数的傅里叶级数192

例5.2.2 锯齿函数的傅里叶级数193

例5.2.3 饱和的放大器输出函数的傅里叶级数194

〔2〕三类函数的傅里叶级数196

〔3〕傅里叶级数的复数形式200

例5.2.4 矩形波函数傅里叶级数的复数形式202

5—3 周期函数的经验公式203

〔1〕周期函数的经验公式203

〔2〕系数公式209

例5.3.1 周期机械振动的经验公式211

例5.3.2 某地全年气温的经验公式215

5—4 含周期系数的微分方程220

〔1〕含周期系数的微分方程220

例5.4.1 变摆长单摆221

例5.4.2 具有周期参变量的电路222

〔2〕可化得周期系数的微分方程222

〔3〕周期系数线性微分方程的一些性质227

第六章 离散型模型231

〔2〕离散变量与连续变量的相互转化231

〔1〕离散变量与连续变量231

6—1 离散变量与连续变量231

第六章 离散型模型231

(4)热电子密度(5)水的密度、压强232

(1)电流(2)浓度(3)放射性物质蜕变速度232

例6.1.1 离散(变)量的连续化处理232

(1)集中荷载(2)脉冲信号233

例6.1.2 连续(变)量的离散化处理233

例6.2.1 定期存款问题234

〔1〕输入输出模型234

6—2 离散型数学模型234

例6.2.2 梯型电阻网络235

例6.2.3 溶液的逐步混合问题236

例6.2.4 弦受集中荷载时的位移236

例6.2.5 随机问题的差分方程237

例6.2.6 树群株数增长的数学模型238

例6.2.7 一个经济模型239

〔2〕方框图240

〔3〕状态变量模型241

例6.2.8 由系统的方框图推出它对应的数学模型241

例6.2.9 输入——输出模型转化成状态变量模型242

例6.2.10 一个经济问题的状态变量模型244

〔1〕差分·差商246

6—3 化连续型模型为离散型模型246

〔2〕演算符号E和△248

〔3〕离散量与连续量的对应250

例6.3.1 化常微分方程为差分方程252

〔4〕微分方程化为差分方程252

6—4 差分方程式256

〔1〕基本概念256

〔2〕简单差分方程的和分解法257

例6.4.1 差分方程的直接和分解法260

〔3〕线性差分方程261

例6.4.2 求一阶线性差分方程y1+1′=2′y1的一般解263

〔4〕常系数线性差分方程264

例6.4.3 解常系数线性齐次差分方程266

例6.4.4 解常系数线性非齐攻差分方程269

〔5〕差分方程的数值解271

第七章 线性模型274

7—1 线性模型274

〔1〕概念274

第七章 线性模型274

〔2〕线性数学模型的表示法277

〔3〕输入-输出数学模型举例277

例7.1.1 RLC电网络的数学模型278

例7.1.2 R—C滤波器的离散数学模型279

7—2 离散线性模型280

〔1〕离散模型的卷积表示法280

例7.2.1 用叠代法求系统的脉冲响应282

〔2〕脉冲响应序列282

例7.2.2 用求解法求系统的脉冲响应285

〔3〕卷积的运算285

例7.2.3 用卷积求离散系统的输出286

例7.1.3 互感耦合电路的数学模型289

例7.2.4 用矩阵法求卷积289

7—3 δ函数290

〔1〕一般定义290

〔2〕用分配函数定义δ函数296

7—4 连续线性模型298

〔1〕连续线性模型的卷积表示法298

〔2〕脉冲响应函数301

例7.4.1 利用阶跃响应函数求脉冲响应函数302

例7.4.2 利用齐次方程的解求脉冲响应函数305

例7.4.3 水高阶微分方程描述的系统的脉冲响应函数305

〔3〕连续系统卷积的计算306

例7.4.4 按定义计算卷积307

例7.4.5 用阶跃响应函数求输出函数308

〔4〕方法的推广309

例7.4.6 RLC电路的脉冲响应函数310

例7.4.7 推广的离散系统的脉冲响应311

7—5 状态变量模型312

〔1〕单道输入、输出的离散系统312

例7.5.1 单道输入输出的线性系统315

〔2〕多道输入，输出的离散系统316

例7.5.2 多道输入、输出的线性系统317

例7.5.3 鳟鱼孵化场生态系统的数学模型318

〔3〕连续系统322

例7.5.4 连续系统的状态方程324

8—1 随机现象的数学模型325

〔1〕随机现象325

第八章 随机模型325

第八章 随机模型325

〔2〕概率空间327

〔3〕随机变量及分布函数332

〔4〕数字特征337

〔5〕随机向量339

〔6〕随机变量的函数343

〔1〕随机模型346

8—2 贝努里试验概型346

〔2〕贝努里概型·二项分布347

〔3〕推广的贝努里概型·多项分布350

〔4〕举例350

例8.2.1 电能供应问题350

例8.2.2 血清的检验351

〔1〕波阿松概型·广义二项分布352

8—3 波阿松试验概型·广义二项分布352

〔2〕卜里耶分布353

〔4〕超几何分布的推广354

〔3〕超几何分布354

〔5〕举例355

例8.3.2 不放回抽样检查355

例8.3.1 抽样检查355

例6.3.3 鱼群的统计估值356

8—4 区间上撒点概型·波阿松分布357

〔1〕波阿松分布357

〔2〕波阿松分布与二项分布的渐近关系359

例8.4.1 放射性物质蜕变360

〔3〕举例360

例8.4.2 显微镜下计算细菌或血球数量361

例8.4.3 废品问题362

8—5 随机误差概型·正态分布363

〔1〕正态分布363

〔2〕三个概率分布的渐近关系366

例8.5.1 服从正态分布的随机变量举例367

〔3〕举例367

例8.5.2 电话线路数量问题368

8—6 利用频率分布描述随机现象369

〔1〕频率的稳定性369

〔2〕离散型随机变量370

例8.6.1 离散型随机变量的频率分布370

〔3〕连续型随机变量371

例8.6.2 连续型随机变量的频率分布371

例8.6.3 正态分布的判别373

〔4〕正态分布373

第九章 随机过程378

9—1 随机过程378

〔1〕基本概念378

第九章 随机过程378

〔2〕分布函数与数字特征380

〔3〕随机过程的一些类型382

9—2 生物学中的一些随机模型386

〔1〕群体增长386

例9.2.1 纯生过程的随机模型387

例9.2.2 生灭过程的随机模型389

〔2〕竞争型的群体增长391

例9.2.3 竞争型群体增长的随机模型392

〔3〕传染病流行394

例9.2.4 简单传染病流行的随机模型394

例9.2.5 两种群体中简单传染病流行的随机模型395

例9.2.6 一般传染病流行的随机模型396

9—3 化学动力学中的随机模型398

〔1〕一般化学反应398

例9.3.1 一级单一化学反应的随机模型399

例9.3.2 二级双分子化学反应的随机模型399

〔2〕链式化学反应400

例9.3.3 直链反应的随机模型401