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第一部分 数与运算1

一、整数1

（一）基础知识1

1．整数1

（1）数与数字1

数1

数的分类2

正整数2

负整数2

有理数2

数字2

中国数字2

阿拉伯数字2

罗马数字3

罗马数字的记数原则3

数与数字的区别3

（2）计数与计数单位4

计数4

计数原则4

计数单位4

十进制计数法5

二进制计数法5

数字转换的一般方法5

（3）数位与位数6

数位6

高位7

低位7

整数数位顺序表7

数级7

位数8

多位数8

（4）整数的读法与写法8

整数的读法8

整数的写法9

整数的改写10

准确数10

近似数11

四舍五入法11

进一法11

去尾法12

2．自然数13

自然数13

自然数的起源14

自然数的单位14

自然数的性质14

基数15

序数15

自然数的分类15

自然数列15

自然数列的性质16

扩大的自然数列16

3．零和116

零16

零的意义16

零的性质16

零的知识17

零因数17

自然数117

单位117

4．各种符号与整数比的大小18

等号18

不等号18

约等号18

大于号18

大于18

大于号的性质18

不大于号18

小于号18

小于19

不小于号19

恒等号19

整数比大小的原则19

（二）整数的四则运算19

1．运算基础知识19

运算19

计算20

式子20

算式20

横式20

算法20

演算20

算草20

竖式20

等式20

脱式20

逆运算21

笔算21

速算21

估算21

口算22

视算22

听算22

珠算22

简算22

验算22

复算23

运算符号23

运算顺序符号23

小括号23

中括号23

大括号23

2．整数加法24

（1）基本定义定理24

加法24

加法的补充定义24

加法的运算符号24

加数24

和24

（2）整数加法的计算法则25

计算法则25

加法的计算法则25

进位加法25

加减法计算法则的依据25

（3）整数加法的运算定律26

运算定律26

加法的运算定律26

加法交换律26

加法结合律26

加法的运算性质26

和的变化规律27

加法的验算27

加法的估算28

10以内的加法28

10以内加法表28

20以内进位加法表29

凑十加29

连加法30

连加法笔算30

不进位加法31

不连续进位加法31

连续进位加法31

3．整数减法32

减法32

被减数和减数32

差32

差的性质33

差的变化规律33

退位34

不退位减法34

退位减法34

不连续退位减法34

连减法34

减法的计算法则35

减法计算法则的依据35

减法的运算性质35

减法的验算37

减法的估算37

加、减法各部分之间的关系38

减法的特殊情况38

10以内的减法39

10以内减法表39

20以内退位减法表39

用10减40

用加算减40

4．整数乘法41

（1）基本概念41

乘法41

因数41

积41

乘法的读法42

乘法的补充定义42

乘法和加法的关系42

连乘43

部分积43

积的位数43

积的变化规律44

乘方44

平方45

立方45

倍45

倍数45

几倍数45

乘法表46

乘法口诀46

小九九46

大九九46

2～6的乘法口诀46

7的乘法口诀47

8的乘法口诀48

表内乘法48

（2）乘法的运算法则与运算性质48

乘法的运算法则48

乘法的运算定律49

乘法交换律49

乘法结合律49

乘法分配律50

乘法的运算性质50

乘法的验算50

乘法的估算51

一位数乘两位数口算51

一位数乘多位数法则51

0和一位数相乘51

中间有0的乘法52

末尾有0的乘法52

一位数的乘法52

多位数的乘法53

5．整数除法53

（1）基本概念53

除法53

被除数53

除数54

商54

除以54

除54

除法和乘法的关系54

除法和减法的关系54

短除法55

连除55

等分除55

包含除56

表内除法56

有余数的除法56

准确商57

不完全商57

商的性质57

商不变58

试商58

试商的方法58

商的位数59

商的变化规律59

（2）除法的计算法则与运算性质60

除法的计算法则60

除数是一位数的除法61

除数是两位数的除法61

除数是两位数的除法法则61

商中间或末尾有0的除法62

除法的运算性质63

有余数除法的性质64

除法的特殊情况64

除法的验算65

有余数除法的验算66

除法的估算66

乘除法的运算性质67

（三）整数的四则混合运算及简算68

四则混合运算68

三级运算68

第一级运算68

第二级运算69

逆运算69

四则混合运算顺序69

同级运算的运算顺序70

加减混合运算性质71

乘除混合运算性质71

四则运算的验算方法72

有关0的四则计算72

速算72

加法的速算73

减法的速算73

乘法的速算74

简便计算75

简便计算的基本思路75

除法的简算方法76

（四）数的整除76

1．基础知识76

整除76

除尽77

整除与除尽的关系77

除不尽77

整除的性质78

2．因数和倍数78

因数和倍数78

倍和倍数79

一个数的倍数79

公倍数79

最小公倍数80

求最小公倍数的方法80

求最大公因数和最小公倍数的两种特殊情况81

最小公倍数的性质81

一个数的因数81

公因数82

最大公因数82

求最大公因数的方法82

辗转相除法83

最大公因数的性质83

3．质数和合数84

质数和合数84

质数的个数84

互质数84

互质85

两两互质85

质因数85

分解质因数85

奇数和偶数86

奇数的性质86

偶数的性质87

4．数的整除特征87

能被2或5整除的数的特征87

能被4或25整除的数的特征87

能被8或125整除的数的特征88

能被3或9整除的数的特征88

能被11整除的数的特征88

能被7,11,13整除的数具有的共同特征88

二、小数89

（一）小数89

1．小数的认识89

小数89

小数各部分名称89

小数点90

小数的数位90

十分位90

百分位91

千分位91

小数的计数单位91

小数的位数91

小数的读法92

小数的写法92

小数的基本性质93

小数点位置的移动引起小数大小的变化93

小数大小的比较94

小数与单名数94

小数与复名数95

单名数和复名数的辨析95

2．小数的分类95

纯小数95

带小数95

有限小数96

无限小数96

循环小数96

循环节96

纯循环小数96

混循环小数96

循环小数的性质96

无限不循环小数97

截取循环小数的近似值97

小数的近似数97

精确度97

有效数字98

有限小数、无限小数、循环小数、纯循环小数、混循环小数、无限不循环小数之间的关系98

3．小数与分数的互化99

有限小数化分数99

带小数化分数99

分数化小数99

分数能否化成有限小数的辨别方法100

（二）小数四则运算101

1．小数加法101

小数加法101

小数加法的法则101

2．小数减法102

小数减法102

小数减法的法则102

3．小数乘法103

小数乘法意义103

小数乘法的法则103

小数乘整数104

整数乘小数105

小数乘小数105

小数的连乘106

整数乘法的运算定律适用于小数乘法106

4．小数除法107

小数除法107

小数除法的法则108

除数是整数的小数除法109

除数是小数的除法110

商的近似值111

四舍五入法112

进一法112

去尾法113

5．小数四则混合运算114

小数四则混合运算顺序114

三、分数与百分数115

（一）分数115

1．分数的认识115

分数的概念115

分数各部分名称115

分数的补充定义116

单位“1”116

分数的产生117

分母117

分子117

分数线118

分数的计数单位118

分数的读法118

分数的写法119

零分数119

分数大小的比较119

分数的基本性质120

分数的分子变化引起分数大小的变化121

分数的分母变化引起分数大小的变化122

分数与除法的关系122

约分123

约分的方法123

最简分数124

通分124

同分母分数125

异分母分数125

公分母125

最小公分母125

通分的方法125

通分子126

2．分数的种类126

分数的分类126

真分数127

假分数127

带分数127

3．数的互化127

假分数化成整数或带分数的方法127

带分数化成假分数的方法127

整数化成假分数的方法128

分数化小数128

小数化分数128

判断一个最简分数能否化成有限小数的方法129

分数和小数大小的比较129

比较分数大小的特殊方法130

（二）分数的四则运算132

1．分数加法132

分数加法132

分数加法的法则132

分数加法的运算定律133

分数加法的速算133

2．分数减法135

分数减法135

整数减带分数136

带分数减整数137

分数减法的速算137

3．分数、小数加减混合运算138

分数加减混合运算的顺序138

分数、小数加减混合运算139

4．分数乘法139

分数乘法139

分数乘法的意义139

分数乘法的法则140

分数乘法的运算定律140

倒数141

求倒数的方法142

分数乘法的速算143

5．分数除法143

分数除法143

分数除法的计算法则143

分数除法的运算性质144

6．分数四则混合运算146

分数四则混合运算146

分数、小数乘法混合运算146

分数、小数除法混合运算147

分数、小数四则混合运算的方法147

（三）百分数148

1．基础知识148

百分数148

百分号148

百分数的计数单位148

百分数和分数、小数的联系148

百分数的读法149

百分数的写法149

百分率149

百分比149

千分数149

2．百分数与分数、小数的互化149

分数化百分数149

小数化百分数149

百分数化小数150

百分数化分数150

3．常用百分率150

发芽率150

出勤率150

成活率151

合格率151

出生率152

死亡率152

及格率152

增长率153

提高率153

入学率153

巩固率154

出油率154

出米率154

出粉率154

出糖率154

命中率154

成数155

定价155

折扣155

本金155

利息155

利率155

利息的计算155

税率155

税款156

利润156

卖出价、成本与利润的百分数的关系156

溶液浓度156

第二部分一、量157

量157

不连续的量与连续的量157

不连续量与连续量的辨析158

二、计量158

（一）计量与计量方法158

计量158

量数158

量与计量159

计量方法159

度量衡159

（二）计量单位159

1．基础知识159

计量单位159

单位名称159

基本单位159

导出单位159

主单位与辅助单位159

国际单位制159

公制160

市制160

英制160

计量器具160

2．单位间的进制与换算161

（1）基础知识161

高级单位161

低级单位161

十进161

百进161

千进161

六十进162

互化162

名数162

不名数162

单名数162

复名数162

同名数162

异名数162

（2）单位换算162

换算162

进率162

名数的改写163

化法163

聚法164

化法和聚法的辨析164

3．常用的计量单位与计量方法164

（1）时间164

时间164

时刻164

时间与时刻的区别164

时间单位165

时辰165

北京时165

地方时165

世界时165

夏令时166

历法166

阳历166

阴历166

阴阳历166

公元167

世纪167

年代167

正月167

元月167

年167

闰年167

判断平年、闰年的方法168

闰月168

闰日168

平年168

季度168

月169

旬169

上旬169

中旬169

下旬169

星期169

二十四时计时法169

日历169

日169

时169

分170

秒170

（2）长度170

长度170

长度单位170

千米170

米170

分米170

厘米170

毫米171

微米171

纳米171

尺171

里171

丈171

寸171

码172

海里172

光年172

长度测量方法172

（3）面积和体积173

面积173

面积单位173

平方千米174

公顷174

公亩174

平方米174

平方分米174

平方厘米174

平方丈174

平方尺174

平方寸174

体积175

体积单位175

立方米175

立方分米175

立方厘米175

立方丈175

立方尺175

立方寸175

土石方176

长度、面积、体积单位进率表176

（4）容积176

容积176

容积单位176

升176

毫升176

石176

斗177

加仑177

（5）质量177

质量177

质量单位177

千克177

克177

吨177

毫克177

担177

斤178

两178

钱178

磅178

克拉178

（6）货币178

货币178

人民币178

元、角、分178

美元178

英镑179

法郎179

日元179

马克179

卢布179

欧元179

（7）角度179

角度179

角度单位179

（8）密度179

密度179

第三部分 比与比例一、比180

（一）比的认识180

比180

比号181

比的前项、后项181

比值181

比和比值的联系与区别182

比的各部分之间的关系182

比的基本性质183

比和除法、分数的联系与区别183

分数、比、小数、商不变性质的区别184

（二）各种数的比184

1．整数比184

整数比184

最简的整数比185

2．分数比与小数比185

分数比185

小数比185

3．连比186

连比186

连比的性质186

连比和比的关系186

（三）比的化简186

比的化简186

求比值与化简比的区别187

求比的未知项187

二、比例188

（一）基础知识188

比例188

比例的内项和外项188

比例中项188

比例的基本性质188

比例定理189

比和比例的辨析190

（二）比例与解比例190

1．解比例190

解比例190

按比例分配191

2．正比例193

两种相关联的量193

正比例的意义193

正比例关系193

成正比例的量的判断方法194

正比例的性质194

正比例应用题195

3．反比例195

反比例的意义195

反比例关系196

成反比例的量的判断方法196

反比例的性质196

反比例应用题197

正比例、反比例的比较199

反比、反比例、反比例关系的辨析199

不成比例的量199

（三）比例尺199

比例尺199

分数比例尺200

线段比例尺200

缩小比例尺200

放大比例尺201

缩小比例尺和放大比例尺的辨析201

比例尺的应用201

第四部分 代数初步知识一、用字母表示数203

代数203

用字母表示数203

用字母表示数的意义204

书写含有字母的式子的规则205

二、代数式205

代数式205

代数式的值206

等式206

等式的性质206

代数式和等式的辨析206

整式206

有理式206

分式206

单项式207

多项式207

升幂排列207

降幂排列207

同类项207

乘方和开方207

科学记数法208

解析式208

恒等式208

恒等变形208

条件等式208

移项208

不等式208

三、方程208

（一）方程的基本知识208

未知数208

方程209

方程的基本性质209

方程的解209

检验方程的解的方法209

方程与等式的关系210

（二）解方程210

1．解方程210

解方程210

方程的解和解方程的区别212

简易方程212

简易方程的解法213

2．列方程解应用题213

列方程解应用题213

方程的元和次213

设未知数214

设未知数的方法214

列方程215

列方程解应用题的一般步骤215

建立等量关系的常用方法216

列方程解应用题的分析方法218

用列方程解应用题与用算术方法解应用题的区别220

第五部分 空间与图形一、几何基础知识221

（一）几何学221

几何学221

几何学的产生与发展222

平面几何学222

立体几何学223

（二）几何图形223

几何图形223

五线223

距离223

两点间的距离223

点到直线的距离223

1．点224

点224

2．线224

线224

（1）直线224

直线224

直线的性质224

直线表示法224

曲线225

（2）射线225

射线225

射线表示法225

（3）线段226

线段226

线段表示法226

线段的性质226

线段的度量226

两点间的距离226

直线、射线、线段的辨析227

（4）折线227

折线227

封闭折线227

（5）直线的相交228

相交直线228

垂直228

垂直的表示法228

垂线229

垂线性质229

垂线的画法229

斜线230

斜足231

（6）直线的平行231

平行线231

平行线的性质231

平行线的画法232

平行公理233

平行线间的距离233

公垂线233

公垂线长234

垂线与平行线关系图234

3．面234

面234

4．体235

体235

二、平面图形235

平面图形235

（一）角235

角235

角的表示法236

角的顶点237

角的边237

角的大小237

角的度量237

角度制237

量角器238

平角239

周角239

直角239

锐角240

钝角240

余角240

补角240

邻角240

邻补角241

对顶角242

角平分线242

（二）三角形242

1．三角形的认识242

三角形242

三角形的基本元素243

三角形的元素243

三角形边与边的关系243

三角形的边角关系244

三角形的底和高244

三角形的内角和245

三角形的中线245

三角形的角平分线246

三角形的中位线247

三角形的垂心247

三角形的重心247

三角形的外心247

三角形的内心248

勾股定理248

三角形的稳定性250

2．三角形的种类251

三角形的分类251

锐角三角形251

直角三角形251

钝角三角形252

斜三角形252

不等边三角形252

等腰三角形252

等边三角形253

等腰三角形和等边三角形的辨析253

等腰直角三角形254

3．三角形的周长和面积254

周长254

三角形的周长254

面积255

三角形的面积255

（三）四边形256

1．四边形的认识256

四边形256

对边256

邻边256

对角256

邻角256

对角线256

2．平行四边形256

平行四边形256

平行四边形的表示法257

平行四边形的对角线257

平行四边形的底和高257

平行四边形的性质258

平行四边形的面积258

3．长方形258

长方形258

矩形259

长方形的性质259

长方形的长和宽259

长方形的周长260

长方形的面积260

4．菱形260

菱形260

菱形的性质261

菱形的面积261

5．正方形261

正方形261

正方形的性质262

正方形的周长262

正方形的面积263

6．梯形263

梯形263

梯形的性质263

梯形的底角263

梯形的高264

梯形的中位线264

梯形中位线的性质264

等腰梯形265

等腰梯形的性质266

直角梯形266

梯形的面积266

各种四边形的关系267

（四）多边形268

多边形268

多边形的内角和269

正多边形270

多边形的周长270

多边形的面积270

（五）圆270

1．圆的认识270

圆270

圆心271

圆的表示法272

半径272

直径272

弦272

弧273

半圆273

等圆273

同心圆273

圆心角274

圆周角274

圆周率275

2．圆的周长和面积275

圆的周长275

圆的面积276

3．圆环278

圆环278

圆环的面积278

4．扇形278

扇形278

扇形的面积279

5．圆与点、线和平面图形的关系280

（1）圆与点的位置关系280

点和圆的位置关系280

（2）圆与直线的位置关系280

圆的切线和切点280

（3）圆与圆的位置关系281

两圆外离281

两圆外切281

切点282

两圆相交282

两圆内切282

两圆内含283

（六）其他图形284

组合图形284

组合图形的面积285

轴对称图形287

中心对称图形288

割补法289

分割法290

平面290

截面290

三、立体图形290

（一）基础知识290

立体图形290

立体图形的分类291

平面立体图形291

曲面立体图形291

立体几何学291

侧面积291

底面积291

表面积292

体积292

容积292

（二）长方体和正方体292

1．长方体292

长方体292

长方体的特征293

长方体的棱长之和293

长方体的表面积293

长方体的体积294

2．正方体294

正方体294

正方体的特征295

正方体的棱长之和295

正方体的表面积295

正方体的体积295

（三）圆柱、圆锥和圆台296

1．圆柱296

圆柱296

圆柱的特征296

圆柱的侧面积297

圆柱的表面积298

圆柱的体积298

2．圆锥299

圆锥299

圆锥的高300

圆锥的体积300

（四）其他301

方301

土石方的计算301

组合体的体积301

四、观察物体303

观察物体303

方向和路线303

平移和旋转305

放大和缩小306

七巧板307

测量307

目测308

第六部分 统计图表与概率一、统计309

（一）基础知识309

统计学309

统计学的研究过程310

统计310

总体311

总体的特征311

个体311

样本311

样本容量311

统计量311

参数311

统计量与参数的区别与联系312

（二）统计数据312

全面调查312

部分调查312

数据312

原始数据312

数据类型312

随机抽样313

规律性抽样313

分层抽样313

阶段性随机抽样314

数据分组314

（三）统计表和统计图315

1．统计表的种类与制作315

图表315

统计表315

统计表的结构315

统计表的制作步骤315

统计表的类型316

单式统计表316

复式统计表316

2．统计图的种类与制作317

统计图317

统计图的作用317

统计图的种类317

（1）条形统计图317

条形统计图317

条形统计图的特点317

条形统计图的分类317

条形统计图的制作步骤317

单式条形统计图318

复式条形统计图318

（2）折线统计图319

折线统计图319

折线统计图的特点319

折线统计图的分类319

折线统计图的制作步骤319

单式折线图320

复式折线图320

（3）扇形统计图321

扇形统计图321

扇形统计图的特点321

扇形统计图的制作步骤321

（4）其他统计图322

其他统计图322

3．常用的统计量322

平均数322

总体平均数323

样本平均数323

中位数324

众数324

平均数、中位数和众数辨析324

二、概率324

事件324

必然事件324

不可能事件324

确定性事件325

随机事件325

概率325

第七部分 解决问题一、应用题326

1．基础知识326

应用题326

应用题的已知条件和问题326

应用题的直接条件和间接条件327

直接条件327

间接条件327

2．应用题的常用术语328

同样多328

多、少328

增加、增加了、增加到328

减少、减少了、减少到328

增加几倍329

扩大329

缩小329

3．应用题中常见的数量关系330

部分数与总数的关系330

大数、小数与相差数的关系330

倍数关系330

每份数、份数与总数的关系330

单价、数量与总价的关系331

单产量、总面积与总产量的关系331

工效、工作时间与工作总量的关系331

速度、时间与路程的关系331

二、应用题的种类331

（一）简单应用题331

看图列算式331

图画应用题332

表格应用题333

求和应用题334

求剩余应用题335

求较大数应用题335

求较小数应用题336

求差应用题336

求总数应用题337

求份数应用题337

求每份数应用题337

求几倍数应用题338

求倍数应用题338

求一倍数应用题339

乘法应用题339

除法应用题339

乘法和加法应用题对比340

除法和减法应用题对比340

乘法和除法应用题对比341

两步解答应用题341

扩题341

缩题342

拆题343

并题343

（二）典型应用题343

还原问题343

盈亏问题344

和差问题345

和倍问题345

差倍问题347

归总问题348

归一问题348

平均数应用题349

工程问题350

相遇问题350

追及问题351

植树问题351

线上植树问题352

面上植树问题353

流水行船问题354

过桥问题355

连续数问题355

置换问题356

时钟问题357

（三）其他类型应用题358

比例尺应用题358

公倍数、公约数问题360

求一个数是另一个数的百分之几361

百分数乘、除法应用题362

已知一个数，求它的百分之几的应用题362

已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数的应用题363

求边长、周长应用题364

求面积、地积应用题364

求体积、容积应用题365

（四）应用题常用的解题思路及方法366

1．简单应用题的解题思路366

2．复合应用题的一般解题思路366

综合法366

分析法367

综合法与分析法的关系368

假设法368

转化法369

比较法369

对应法370

列举法370

列表法371

用算术方法解应用题371

列方程解应用题372

解答应用题的一般方法372

附录374