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第一章 集论初步1

1.集的概念.集上的运算1

1.基本定义1

2.集上的运算1

第四版序1

第二版序2

第三版序4

2.映射.分类5

1.集的映射.函数的一般概念5

2.分类.等价关系7

1.有限集与无限集10

3.集的对等性.集的势的概念10

2.可数集12

3.集的对等性14

4.实数集的不可数性16

5.康托尔-伯恩斯坦(Cantor-Bernstein)定理18

6.集的势的概念18

4.有序集.超限数21

1.偏序集22

2.保序映射23

3.序型.有序集23

4.有序集的有序和24

5.良序集.超限数25

6.序数的比较27

7.选择公理.策墨罗定理及与其等价的其他命题29

8.超限归纳法31

5.集族32

1.集环32

2.集半环34

3.半环生成的环36

4.σ-代数37

5.集族与映射38

1.定义与基本例子40

第二章 度量空间与拓扑空间40

1.度量空间的概念40

2.度量空间的连续映射.等距48

2.收敛性.开集与闭集50

1.极限点.闭包50

2.收敛性52

3.稠密子集53

4.开集与闭集54

5.直线上的开集与闭集56

3.完备度量空间61

1.完备度量空间的定义与例子61

2.球套定理64

3.贝尔(Baire)定理66

4.空间的完备化66

4.压缩映射原理及其应用70

1.压缩映射原理70

2.压缩映射原理最简单的一些应用71

3.微分方程的存在性与唯一性定理75

4.压缩映射原理应用于积分方程78

5.拓扑空间81

1.拓扑空间的定义与例子81

2.拓扑的比较83

3.确定邻域族.基.可数性公理84

4.T中的收敛序列88

5.连续映射.同胚89

6.分离性公理92

7.在空间中给定拓扑的不同方法.可度量性95

6.紧性97

1.紧性概念97

2.紧空间的连续映射99

3.在紧空间上的连续函数与半连续函数100

4.可数紧性103

5.准紧集105

1.完全有界性106

7.度量空间的紧性106

2.紧性与完全有界性108

3.度量空间中的准紧子集109

4.阿尔采拉(Arzel?)定理110

5.皮亚诺(Peano)定理112

6.一致连续性.度量紧统的连续映射114

7.拓广的阿尔采拉定理115

8.度量空间中的连续曲线117

第三章 赋范线性空间与线性拓扑空间123

1.线性空间123

1.线性空间的定义及例子123

2.线性相关性125

3.子空间126

4.商空间127

5.线性泛函128

6.线性泛函的几何意义130

2.凸集与凸泛函.汉恩-巴拿赫(Hahn-Banach)定理132

1.凸集与凸体132

2.齐次凸泛函135

3.闵可夫斯基泛函136

4.汉恩-巴拿赫定理139

5.线性空间中凸集的可分离性143

1.赋范空间的定义与例子144

3.赋范空间144

2.赋范空间的子空间146

3.赋范空间的商空间147

4.欧几里得空间149

1.欧几里得空间的定义149

2.例子151

3.正交基的存在性，正交化153

4.贝塞耳(Bessel)不等式.封闭正交系156

5.完备的欧几里得空间.黎茨-费歇尔(Riesz-Fisher)定理160

6.希耳伯特空间.同构定理163

7.子空间.正交补.直和166

8.欧几里得空间的特性170

9.复欧几里得空间173

5.线性拓扑空间176

1.定义与例子176

2.局部凸性179

3.可数赋范空间180

第四章 线性泛函与线性算子184

1.线性连续泛函184

1.线性拓扑空间中的线性连续泛函184

2.赋范空间上的线性泛函186

3.赋范空间中的汉恩-巴拿赫定理189

1.共轭空间的定义192

4.在可数赋范空间中的线性泛函192

2.共轭空间192

2.共轭空间中的强拓扑193

3.共轭空间的例子196

4.二次共轭空间202

3.弱拓扑与弱收敛205

1.在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛205

2.赋范空间中的弱收敛206

3.共轭空间中的弱拓扑与弱收敛210

4.共轭空间中的有界集212

1.函数概念的推广216

4.广义函数216

2.基本函数空间217

3.广义函数218

4.广义函数的运算220

5.基本函数范围的充足性223

6.按导数求函数.广义函数类中的微分方程224

7.某些推广227

5.线性算子231

1.线性算子的定义与例231

2.连续性与有界性235

3.算子的和与积237

4.逆算子，可逆性239

5.共轭算子246

6.欧几里得空间中的共轭算子.自共轭算子248

7.算子的谱.预解式250

6.紧算子253

1.紧算子的定义与例253

2.紧算子的基本性质258

3.紧算子的特征值261

4.希耳伯特空间中的紧算子262

5.H 中的自共轭紧算子263

1.初等集的测度268

1.平面集的测度268

第五章 测度，可测函数，积分268

2.平面集的勒格贝(Lebesgue)测度273

3.若干补充与推广281

2.一般测度概念.测度从半环到环上的扩张.加性和σ-加性284

1.测度的定义284

2.从半环到其所生成的环的测度扩张284

3.σ-加性287

3.测度的勒贝格扩张291

1.给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张291

2.给定在不含单位集的半环上的测度扩张295

3.在σ-有限测度的情形下可测性概念的扩充298

4.按约当(Jordan)意义的测度扩张301

5.测度扩张的单值性304

4.可测函数305

1.可测函数的定义及其基本性质305

2.可测函数的运算307

3.等价性310

4.几乎处处收敛性311

5.叶果洛夫(Егоров)定理311

6.按测度收敛313

7.鲁金(Лузин)定理．C性质316

5.勒贝格积分317

2.简单函数的勒贝格积分318

1.简单函数318

3.具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义321

4.σ-加性和勒贝格积分的绝对连续性324

5.勒贝格积分号下取极限329

6.无穷测度集上的勒贝格积分333

7.勒贝格积分同黎曼积分之比较335

6.集族及其测度的直积.富比尼(Fubini)定理337

1.集族的乘积338

2.测度积340

3.用截线的线性测度之积分表示平面测度之表达式.勒贝格积分的几何意义342

4.富比尼定理345